sedhesrebsit.ru

Înțelegeți analiza

Analiza (numită și calcul) este o ramură a matematicii axată pe limite, funcții, derivate, integrale și serii infinite. Acest subiect acoperă o mare parte din matematică și subliniază multe dintre formulele și ecuațiile folosite în fizică și mecanică. Vei probabil, de mai mulți ani de matematică ar fi avut în liceu pentru a înțelege analiza bine, dar acest articol vă va ajuta pe cale de a învăța să recunoască conceptele cheie, precum și o mai bună înțelegere a teoriei.

pași

Partea 1
Bazele analizei

Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 1
1
Analiza este studiul modului în care se schimbă lucrurile. Analiza este o ramură a matematicii care investighează numere și grafice, de obicei, derivate din datele din lumea reală, și explică modul în care modificarea. Deși acest lucru nu pare foarte util la început, analiza este una dintre cele mai utilizate ramuri ale matematicii. Imaginați-vă că aveți instrumentele pe care le pot spune cât de repede afacerea dvs. se dezvoltă la un moment dat, sau prin oprirea prețul unei nave spațiale, și cât de repede este consumat combustibilul. Analiza este un instrument important în inginerie, economie, statistica, chimie și fizică, și a contribuit la mai multe inventii si descoperiri.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 2
    2
    Funcțiile sunt relații între două numere și sunt utilizate pentru maparea relațiilor. Acestea sunt reguli pentru relația dintre numere, iar matematicienii le folosesc pentru a crea grafice. Într-o funcție, fiecare intrare are exact un rezultat. De exemplu: în Y=2X+4,{ displaystyle y = 2 x 4,}dă fiecare valoare X{ displaystyle x}o nouă valoare de la înainte Y.{ displaystyle y}dacă X=2,{ displaystyle x = 2,}atunci este Y=8.{ displaystyle y = 8.}dacă X=10,{ displaystyle x = 10,}Y=24.{ displaystyle y = 24.}Analiza examinează întotdeauna funcțiile și modul în care acestea se schimbă, prin care aceste funcții sunt utilizate pentru a mapa relațiile.
  • Caracteristicile sunt adesea scrise ca f(X)=X+3.{ afișarea stilului f (x) = x + 3.}Aceasta înseamnă că funcția f(X){ displaystyle f (x)}adăugați întotdeauna 3 la numărul în care vă aflați X{ displaystyle x}completați. Introduceți 2, apoi scrieți f(2)=(2)+3,{ displaystyle f (2) = (2) +3,}sau f(2)=5.{ displaystyle f (2) = 5.}
  • Funcțiile pot afișa, de asemenea, mișcări complexe. NASA, de exemplu, are o funcție pentru a descrie viteza unei rachete, pe baza ratei de consum de combustibil, rezistența vântului și greutatea rachetei.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 3
    3
    Gândiți-vă la conceptul de infinit. Infinitatea repetă în mod constant un proces. Nu este un loc specific (nu puteți merge la infinit), ci comportamentul unui număr sau al unei ecuații, dacă acest lucru se face pentru totdeauna. Acest lucru este important pentru studiul schimbării: poate doriți să știți cât de repede mașina se deplasează la un moment dat, dar asta cât de repede conduci în timpul al doilea curent? Milisecundă? Nanosecundă? Puteți găsi bucăți de timp infinit mai mici pentru a fi și mai precise și acesta este momentul în care analiza își face apariția.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 4
    4
    Înțelegeți conceptul de limite. O limită vă spune ce se întâmplă când se apropie ceva infinit. Luați numărul 1 și împărțiți-l. 2. Continuați să împărțiți cu 2, din nou și din nou. 1 devine ½ și apoi 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, etc. De fiecare dată când numărul devine mai mic și mai mic, "mai aproape" zero. Dar unde se oprește? De câte ori trebuie să împărțiți 1 la 2 pentru a obține zero? În loc să răspundeți la această întrebare, imaginați-vă una în analiză limită În acest caz, limita este.
  • Limitele sunt mai ușor de văzut într-un grafic - de exemplu, există puncte care ating aproape un grafic, dar niciodată?
  • Limitele pot fi numere, infinite sau chiar inexistente. De exemplu, în seria sumator de 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... iar aceasta continuă la infinit, atunci numărul final este infinit de mare. Limita devine apoi infinită.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 5
    5
    Luați în considerare conceptele matematice esențiale ale algebrei, trigonometriei și cunoștințelor de bază ale matematicii. Analiza se bazează pe o mare parte din matematica pe care ați învățat-o înainte. Fiind bine informat despre toate subiectele, devine mult mai ușor să înveți și să înțelegi analiza. O serie de subiecte de actualizare a cunoștințelor sunt:
  • algebră. Trebuie să înțelegeți diferitele procese și să rezolvați ecuațiile și sistemele de ecuații cu mai multe variabile. Înțelegerea cunoștințelor de bază ale colecțiilor. Practicați crearea de grafice.
  • Geometrie. Geometria este studiul formelor. Trebuie să aveți cunoștințele de bază despre triunghiuri, dreptunghiuri și cercuri și cum să calculați lucruri precum perimetrul și zona. Asigurați-vă că înțelegeți unghiurile, liniile și coordonatele
  • trigonometrie. Trigonometria este ramura matematicii care se ocupă de proprietățile cercurilor și triunghiurilor drepte. Asigurați-vă că știți cum să utilizați identități trigonometrice, grafice, funcții și funcții trigonometrice inverse.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 6
    6
    Achiziționați un calculator pentru grafic. Analiza nu este ușor de înțeles fără a putea vedea ce faci. Calculatoarele grafice fac funcții vizuale, astfel încât să puteți înțelege mai bine ce fel de comparații aveți de-a face. Adesea, limitele sunt afișate și pe ecran, iar derivatele și funcțiile sunt calculate automat.
  • Multe smartphone-uri și tablete oferă în zilele noastre aplicații ieftine, dar eficiente pentru crearea de grafice, dacă nu doriți sau nu puteți achiziționa un calculator de grafic.

    • Partea 2
    Înțelegeți derivatele

    Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 7
    1
    Analiza este utilizată pentru a studia "schimbarea la un anumit moment". Știind de ce se schimbă ceva într-un moment exact este nucleul analizei. De exemplu, analiza nu numai că vă oferă viteza unei mașini, dar și cât de mult se schimbă viteza la un anumit moment. Aceasta este una dintre cele mai simple aplicații de analiză, dar foarte importantă. Imaginați-vă cât de importante sunt aceste informații pentru a determina viteza necesară pentru a obține o navă spațială pe lună!
    • Determinarea schimbării la un moment dat are se diferenția. Diferențierea este prima dintre cele două ramuri majore de analiză.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 8
    2
    Utilizați derivați pentru a înțelege modul în care lucrurile se schimbă la un moment dat. Un "derivat" este un cuvânt plăcut pentru ceva care îi face pe elevi să fie nervoși. Conceptul însăși nu este atât de greu de înțeles - înseamnă pur și simplu "cât de repede se schimbă ceva". Derivații pe care îi veți întâlni cel mai mult în viața de zi cu zi au de-a face cu viteza. Nu îl numiți de obicei "derivatul vitezei", ci pur și simplu "accelerația.
  • Accelerația este un derivat - vă spune cât de repede ceva accelerează sau încetinește sau cum se schimbă viteza.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 9
    3
    Aflați că gradul de schimbare este egal cu panta dintre două puncte. Aceasta este una dintre cele mai importante descoperiri ale analizei. Gradul de schimbare dintre două puncte este egal cu panta liniei dintre aceste două puncte. Gândește-te doar la o linie simplă, ca cea a ecuației Y=3X.{ displaystyle y = 3x.}Panta liniei este de 3, ceea ce înseamnă că pentru fiecare nouă valoare de X,{ displaystyle x,}Y{ displaystyle y}modificări cu 3. Panta este aceeași cu gradul de schimbare: o pantă de trei înseamnă că linia se modifică cu 3 (crește de trei ori) pentru fiecare schimbare în X.{ displaystyle x.}când X=2,Y=6-{ displaystyle x = 2, y = 6-}când X=3,Y=9.{ displaystyle x = 3, y = 9.}
  • Panta liniei este schimbarea y împărțită la schimbarea în x `.`
  • Cu cât panta este mai mare pe panta, cu atât este mai abruptă linia. Prin urmare, liniile abrupte se schimbă pentru o schimbare rapidă.
  • Împrospătați cunoștințele despre determinarea pantei unei linii dacă aceasta a scăzut.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 10
    4
    Știți că puteți determina panta liniilor curbe. Determinarea pantei unei linii drepte este relativ simplă: cât de mult se schimbă Y{ displaystyle y}pentru fiecare valoare din X?{ displaystyle x?}Dar comparații complexe, cum ar fi Y=X2{ displaystyle y = x ^ {2}}pentru o curbă, sunt mult mai dificil de determinat. Cu toate acestea, puteți încă să determinați gradul de schimbare între două puncte - trageți pur și simplu o linie între cele două puncte și calculați panta.
  • De exemplu, în Y=X2,{ displaystyle y = x ^ {2},}puteți alege oricare două puncte și puteți calcula panta. lua (1,1){ displaystyle (1,1)}și (2,4).{ displaystyle (2,4).}Panta dintre aceste puncte devine apoi egală cu 4-12-1=42=2.{ displaystyle { frac {4-1} {2-1}} = { frac {4} {2}} = 2.}Aceasta înseamnă că schimbarea între X=1{ displaystyle x = 1}și X=2{ displaystyle x = 2}este egal cu 2.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 11
    5
    Dacă doriți să calculați mai corect schimbarea, asigurați-vă că punctele sunt mai apropiate. Cu cât alegeți mai aproape de două puncte, cu atât răspunsul este mai precis. Să presupunem că doriți să știți cât de mult accelerează mașina dvs. când apăsați pe pedala de accelerație. Nu doriți să măsurați schimbarea vitezei dintre casă și supermarket, ci schimbarea vitezei din momentul în care pasiți pe accelerator. Cu cât valoarea dvs. de măsurare devine mai apropiată de acea fracțiune de secundă, cu atât mai exactă este calculul modificării.
  • De exemplu, oamenii de știință investighează cât de repede unele specii mor pentru a le salva. Cu toate acestea, mai multe animale mor în timpul iernii decât în ​​timpul verii, deci nu este util să studiezi gradul de schimbare pe parcursul întregului an - este mai bine să determini amploarea schimbării într-o perioadă mai mică, cum ar fi de la 1 iulie la 1 august.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 12
    6
    Utilizați linii infinit de scurte pentru a determina "viteza instantanee a schimbării" sau pentru a găsi derivatul. Aici analiza este adesea confuză, dar acesta este de fapt rezultatul a două fapte simple. În primul rând, știți că panta unei linii este egală cu cât de repede se schimbă linia. În al doilea rând, știți că cu cât sunt mai apropiate punctele liniei, cu atât va fi mai exactă valoarea măsurată. Dar cum găsiți gradul de schimbare la un anumit punct dacă panta este relația dintre două puncte? Răspunsul: Alegeți două puncte care sunt aproape infinite împreună.
  • Gândiți-vă la exemplul în care păstrați împărțirea 1 la 2, obținând astfel 1/2, 1/4, 1/8, etc. În cele din urmă veți ajunge aproape de zero, iar răspunsul este atunci "aproape zero". Aici punctele sunt atât de apropiate încât sunt "aproape egale unul cu celălalt". Aceasta este natura derivatelor.


  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 13
    7
    Aflați cum să determinați diferite instrumente derivate. Există o mulțime de tehnici diferite pentru a găsi un derivat, în funcție de ecuație, dar majoritatea sunt logice dacă ați memorat elementele de bază ale derivatelor de mai sus. Toate derivatele reprezintă o modalitate de a găsi panta unei linii "infinit de mici". Acum că știți mai multe despre teoria derivatelor, o mare parte a lucrării constă în găsirea răspunsurilor.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 14
    8
    Determinați ecuațiile derivate pentru a anticipa rata de schimbare în orice moment. Este util să determinați gradul de schimbare la un moment dat cu ajutorul unor instrumente derivate, dar frumusețea analizei este că puteți crea un nou model pentru fiecare funcție. Derivatul lui Y=X2,{ displaystyle y = x ^ {2},}de exemplu, este Y`=2X.{ displaystyle y ^ { prime} = 2x.}Aceasta înseamnă că puteți determina derivatul pentru fiecare punct dintr-un grafic Y=X2{ displaystyle y = x ^ {2}}prin substituirea în derivat. În acest punct (2,4),{ displaystyle (2,4),}prin care X=2,{ displaystyle x = 2,}este derivatul 4 deoarece Y`=2(2).{ displaystyle y ^ { prime} = 2 (2).}
  • Există note diferite pentru derivate. În etapa anterioară, derivatele au fost indicate cu un acoperiș - derivatul lui Y,{ displaystyle y,}apoi notează-te ca Y`.{ displaystyle y ^ { prime}}.Aceasta se numește notația Lagrange.
  • Există o altă modalitate care este adesea folosită pentru a scrie derivate. În locul unui acoperiș, notați ddX.{ displaystyle { frac { mathrm {d}} {{ mathrm {d}} x}}}Nu uitați acea funcție Y=X2{ displaystyle y = x ^ {2}}depinde de variabila X.{ displaystyle x.}Așa că scriem derivatul ca dYdX{ displaystyle { frac {{mathrm {d}}}} {{ mathrm {d}} x}}}- derivatul Y{ displaystyle y}la X.{ displaystyle x.}Aceasta se numește notația lui Leibniz.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 15
    9
    Încercați să vă amintiți exemple practice de instrumente financiare derivate, dacă vi se pare dificil de înțeles. Cel mai simplu exemplu se bazează pe viteză, care include o mulțime de derivate diferite pe care le întâlnim în fiecare zi. Nu uitați: un derivat este o măsură a cât de rapid se schimbă ceva. Gândiți-vă la un simplu experiment. Rulați o marmură pe o masă și măsurați cât de departe se mișcă de fiecare dată și cât de repede. Acum imaginați-vă că marmura de rulare urmează o linie pe un grafic - utilizați derivați pentru a măsura modificările curente în orice moment pe acea linie.
  • Cât de repede se mișcă marmura? La ce viteză se schimbă poziția (sau derivatul) marmurei în mișcare? Noi numim această viteză a derivatelor.
  • Trageți marmura pe o pantă și verificați modul în care se schimbă viteza. Care este gradul de schimbare, sau derivat, a vitezei marmurei? Acest derivat este ceea ce numim "accelerare".
  • Rolați marmura de-a lungul unei piste cu valțuri, cum ar fi un roller-coaster. În ce măsură marmura câștigă viteza atunci când scade și în ce măsură marmura încetinește? Cât de repede marmura merge exact când se află la jumătatea dealului? Aceasta este rata instantanee de schimbare, sau derivat, a acelei marmura la acel punct specific.

    • Partea 3
    Înțelege integralele

    Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 16
    1
    Aflați că puteți utiliza analiza pentru a găsi suprafețe și volume complexe. Cu analiza puteți măsura forme complexe care sunt altfel greu de măsurat. Luați în considerare, de exemplu, sarcina de a ști cât de multă apă conține un lac cu formă neregulată - este imposibil să măsurați separat fiecare litru de apă sau să folosiți o riglă pentru a măsura forma lacului. Cu ajutorul analizei puteți studia modul în care se schimbă marginile lacului și apoi utilizați acele informații pentru a afla cât de multă apă conține.
    • Realizarea modelelor geometrice și studiul volumelor integra. Calculul integrat este a doua ramură importantă a analizei.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 17
    2
    Cunoașteți că integrarea este zona sub un grafic. Integrarea este utilizată pentru a măsura spațiul sub o linie, cu care puteți determina suprafața unor forme ciudate sau neregulate. Luați ecuația Y=4-X2,{ displaystyle y = 4-x ^ {2},}Ceea ce pare a fi un inversat „U“. Puteți calcula cât de mult spațiu sub tine este prezent, prin calcul integral. Poate vă întrebați ce punct este acest lucru, dar atunci cred că de utilizarea sa în producție - puteți crea o funcție care arată ca o nouă componentă, și folosind calculul integral pentru a determina suprafața componentei, și astfel încât pentru a vă ajuta să comandați cantitatea corectă de material.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 18
    3
    Știți că trebuie să selectați o zonă de integrare. Nu puteți integra pur și simplu o întreagă funcție. De exemplu, Y=X{ displaystyle y = x}este o linie diagonală care continuă pentru totdeauna și nu poți integra totul, pentru că nu se va opri niciodată. La integrarea funcțiilor trebuie să alegeți o zonă, ca toate punctele între eleX=2{ displaystyle x = 2}și X=5.{ displaystyle x = 5.}
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 19
    4
    Gândiți-vă la modul în care calculați suprafața unui dreptunghi. Imaginați-vă că aveți o linie plată deasupra unui grafic, cum ar fi Y=4.{ displaystyle y = 4.}Pentru a găsi zona de dedesubt, determinați aria unui dreptunghi între Y=0{ displaystyle y = 0}și Y=4.{ displaystyle y = 4.}Acest lucru este ușor de măsurat, dar cu linii ondulate nu va funcționa, deoarece nu îl puteți converti cu ușurință în dreptunghiuri.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 20
    5
    Cunoașteți că, prin calculul integrat, se adaugă multe mici dreptunghiuri pentru a găsi zona unei zone. Dacă măriți o curbă enormă, aceasta arată ca o linie dreaptă. Vedeți asta în fiecare zi - nu puteți vedea curbura pământului deoarece sunteți atât de aproape de suprafața pământului. Integrarea creează un număr infinit de mici dreptunghiuri sub o curbă care sunt atât de mici, încât sunt practic plane, permițându-vă să le numărați. Toate aceste dreptunghiuri adunate formează suprafața zonei sub o curbă.
  • Să presupunem că adăugați o grămadă de segmente mici sub grafic și că lățimea fiecărui segment aproape este zero.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 21
    6
    Aflați cum să citiți și să notați integralele în mod corect. Integralele sunt compuse din 4 părți. Un model tipic arată astfel:

    ∫f(X)dX{ displaystyle int f (x)} { mathrm {d}} x}
  • Primul simbol, ∫,{ displaystyle int,}este simbolul pentru integrare (aceasta este de fapt o S alungită).
  • A doua parte, f(X),{ displaystyle f (x),}este funcția. Dacă se află în integrală, se numește integrandul.
  • Și în cele din urmă dX{ displaystyle { mathrm {d}} x}la sfârșit, care vă spune ce variabilă integrați și ce. Deoarece funcția f(X){ displaystyle f (x)}depinde de X,{ displaystyle x,}este cea în privința căreia vă integrați.
  • Amintiți-vă că variabila pe care o integrați nu este întotdeauna X,{ displaystyle x,}va fi, deci ai grijă ce observi.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 22
    7
    Aflați mai multe despre găsirea integraliilor. Calculul integrat vine în mai multe forme și trebuie să învățați o mulțime de formule diferite pentru a putea integra fiecare funcție. Cu toate acestea, toți respectă principiile enunțate mai sus: integrarea este suma unui număr infinit de lucruri.
  • Integrare prin substituție.
  • Calculați integralele nedefinite.
  • Integrați prin partajare.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 23
    8
    Știți că integrarea este opusul diferențierii și viceversa. Aceasta este o regulă de analiză care este atât de importantă încât sa dat propriul nume: declarația principală a Contului Integral. Deoarece integrarea și diferențierea tot atât de strâns legate, o combinație a celor două pot fi folosite pentru a determina rata de schimbare, accelerare, viteză, locație, mișcare, etc, indiferent de informațiile pe care le aveți.
  • Amintiți-vă, de exemplu, că derivatul de viteză este accelerația, deci puteți folosi viteza pentru a găsi accelerația. Dar dacă cunoașteți doar accelerația ceva (ca obiecte care cad ca urmare a gravitației), atunci vă puteți integra pentru a determina din nou viteza!
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 24
    9
    Știți că, prin integrare, puteți determina și volumul de obiecte 3D. Întoarcerea unei forme plate în jurul este o modalitate de a crea corpuri 3D. Imaginați-vă o monedă pe masă care se rotește în jurul valorii de - observați cum moneda pare să ia forma unei sfere în timp ce se întoarce. Cu acest concept poți determina volumul în funcție de un proces cunoscut sub numele de "volum prin rotație".
  • Aceasta vă permite să determinați volumul fiecărui element solid, atâta timp cât aveți o funcție care îl reprezintă. De exemplu, puteți crea o funcție care să urmeze partea de jos a unui lac și apoi să o utilizați pentru a determina volumul lacului sau cantitatea de apă pe care o conține.

    • sfaturi

    • Practica face perfect, asa ca fac exercițiile de practică din manual - chiar și cele pe care nu ați specificat profesor - și verificați răspunsurile, astfel încât să învețe să înțeleagă mai bine conceptele.
    • Dacă nu veniți de undeva, adresați-vă profesorului.
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit
    Creați o analiză a tendințelor în ExcelCreați o analiză a tendințelor în Excel
    Analiza de regresie în ExcelAnaliza de regresie în Excel
    Creați o histogramăCreați o histogramă
    Învață algebraÎnvață algebra
    Să devii mai bun în matematicăSă devii mai bun în matematică
    Scrieți o analiză de caractereScrieți o analiză de caractere
    Scrierea unei analize literareScrierea unei analize literare
    Gândește-te cu trucuri de matematicăGândește-te cu trucuri de matematică
    Îmbunătățiți-vă abilitățile de matematicăÎmbunătățiți-vă abilitățile de matematică
    Faceți cercetări calitativeFaceți cercetări calitative
    » » Înțelegeți analiza

    © 2011—2021 sedhesrebsit.ru