Calculați valoarea așteptată

Valoarea așteptărilor este un termen din statistici și un concept folosit pentru a decide cât de utilă sau dăunătoare va fi o acțiune. Pentru a calcula valoarea așteptată, este necesar să se înțeleagă bine fiecare rezultat dintr-o situație dată și probabilitatea asociată sau probabilitatea ca un anumit rezultat să apară. Pașii de mai jos oferă o serie de sarcini de eșantionare pentru a clarifica conceptul de valoare așteptată.

conținut

Pași
Metoda 1o primă sarcină simplă
Metoda 2calcularea valorii așteptate pentru un anumit rezultat
Metoda 3Înțelegeți conceptul
Sfaturi
Accesorii

pași

Metoda 1
O primă sarcină simplă

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 1

Citiți declarația. Înainte de a începe să vă gândiți la toate rezultatele și probabilitățile posibile, este important să înțelegeți bine problema. De exemplu, un joc de zaruri care costă 10 € pe joc. O masă pe 6 fețe este aruncată o dată, iar câștigurile depind de numărul pe care îl arunci. În cazul în care un jucător 6 este aruncat, câștigați 30 de euro - un număr de 5 livrează 20 de euro - un număr aleatoriu nu dă nimic.

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 2

Faceți o listă cu toate rezultatele posibile. Vă ajută să faceți o listă a tuturor rezultatelor posibile într-o anumită situație. În exemplul de mai sus, există 6 rezultate posibile. Acestea sunt: (1) arunca una si pierzi 10 € (2) arunca o secundă și pierzi 10 € (3) arunca o 3 și pierzi 10 € (4) arunca un 4 și pierzi 10 € , (5) aruncați un 5 și câștigați 10 €, (6) aruncați un 6 și câștigați 20 €.

Rețineți că fiecare rezultat este cu 10 € mai mic decât cel descris mai sus, deoarece trebuie să plătiți mai întâi 10 € pe joc, indiferent de rezultat.

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 3

Determinați probabilitatea fiecărui rezultat. În acest caz, probabilitatea la fiecare 6 rezultate este aceeași. Probabilitatea că un număr aleatoriu este aruncat este de 1 la 6. Pentru a face acest lucru mai ușor de notat, scriem fracțiunea (1/6) ca zecimal folosind un calculator: 0.167. Scrieți această probabilitate împreună cu fiecare rezultat, mai ales dacă doriți să rezolvați o problemă cu diferite probabilități pentru fiecare rezultat.

Este posibil ca calculatorul dvs. 1/6 să facă ceva de genul 0.1666667. Am rotunzi acest lucru până la 0,167 pentru a face mai ușor să contezi, fără a sacrifica precizia.

Dacă doriți un rezultat foarte precis, nu faceți o zecimală a acestuia, introduceți doar 1/6 în formula și calculați-o pe calculator.

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 4

Înregistrați valoarea fiecărui rezultat. Multiplicați numărul de euro dintr-un rezultat cu probabilitatea ca rezultatul să se producă, pentru a calcula câți bani rezultă acest lucru contribuie la valoarea așteptată. De exemplu, rezultatul aruncării unui 1 este de - 10 EUR, iar probabilitatea de a arunca un 1 este de 0,167. Valoarea aruncării unui a este, prin urmare, (-10) * (0,167).

Nu este necesar să calculați aceste rezultate acum, dacă aveți un calculator care poate efectua mai multe operații simultan. Obțineți un rezultat mai precis atunci când introduceți întreaga ecuație.

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 5

Adăugați valoarea fiecărui rezultat pentru a obține valoarea așteptată a unui eveniment. Pentru a continua cu exemplul de mai sus, valoarea așteptată a jocului de zaruri este: (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (10 * 0,167) + (20 * 0,167) sau - 1,67 €. Deci, vă puteți aștepta să pierdeți 1,67 € la fiecare joc (pe joc).

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 6

Care sunt implicațiile calculării valorii așteptate. În exemplul de mai sus, am stabilit că profitul (pierderea) așteptat ar urma să ajungă la 1,67 € pe litru. Acesta este un rezultat imposibil pentru 1 joc - puteți pierde 10 €, puteți câștiga 10 € sau puteți câștiga 20 €. Dar, pe termen lung, valoarea așteptată este o probabilitate medie utilă. Dacă continuați să jucați acest joc, veți pierde în medie aproximativ 1,67 € pe joc. Un alt mod de a gândi despre valoarea așteptată prin atribuirea unor costuri (sau beneficii) ortografiei pe care acest joc ar trebui să joace doar dacă o faci, destul de frumos să-l găsească de fiecare dată 1,67 € să cheltuiți.

Cu cât este repetată mai repede situația, cu atât este mai precis valoarea așteptărilor reprezentând rezultatul mediu real. De exemplu, ați putea juca jocul de 5 ori la rând și veți pierde de fiecare dată, rezultând o pierdere medie de 10 €. Dar, dacă jucați jocul de 1000 de ori, rezultatul mediu va veni din ce în ce mai aproape de valoarea așteptată de - 1,67 € pe joc. Se numește acest principiu "legea numerelor mari."

Metoda 2
Calcularea valorii așteptate pentru un anumit rezultat

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 7

Utilizați această metodă pentru a calcula numărul mediu de monede pe care trebuie să le inversați înainte de apariția unui anumit model. De exemplu, puteți utiliza metoda pentru a obține numărul așteptat de monede pe care trebuie să vă răsturnați până când aveți două capete la rând. Această problemă este mai dificilă decât o problemă standard valorile așteptate, astfel încât să citiți secțiunea de mai sus a acestui articol, dacă nu sunteți încă familiarizați cu conceptul de valoare de așteptat.

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 8

Să presupunem că căutăm o valoare x. Încercați să determinați câte monede trebuie să completați în medie pentru a obține de două ori la rând. Acum facem o comparație pentru a găsi răspunsul. Răspunsul pe care îl căutăm este numit x. Facem comparatia necesara pas cu pas. În prezent, avem următoarele:

x = ___

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 9

Gândiți-vă la ceea ce se întâmplă atunci când pentru prima dată rotunjirea oferă valută. Acesta va fi cazul în jumătate din cazuri. Dacă acesta este cazul, atunci trebuie să vă răsturnați o dată "pierdute", în timp ce șansa de a merge de două ori la rând nu sa schimbat. Ca și pentru aruncarea monedei, este de așteptat să aruncați un număr mediu de ori înainte de a obține un titlu de două ori. Cu alte cuvinte, vă așteptați să aruncați un număr de x de câte ori, plus cel pe care l-ați jucat deja. Sub forma unei ecuații ::

x = (0,5) (x + 1) + ___

Vom umple spațiul gol, pe măsură ce vom continua să ne gândim la alte situații.

Puteți folosi fracțiuni în loc de zecimale dacă este mai ușor sau mai necesar.

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 10

Gândește-te la ce se întâmplă când îți arunci capul. Există o șansă de 0,5 (sau 1/2) pe care îl aruncați o ceașcă pentru prima dată. Acest lucru pare să vină mai aproape de scopul de a arunca un cap de două ori, dar cât de mult? Cea mai ușoară modalitate de a afla este să vă gândiți la opțiunile dvs. în timpul celei de-a doua runde:

Dacă a doua aruncare este o monedă, atunci ne întoarcem la început.

Dacă a doua oară este și un cap, atunci am terminat!

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 11

Aflați cum puteți calcula probabilitatea apariției a două evenimente. Știm acum că aveți o șansă de 50% de a arunca un antet, dar care este șansa de a arunca un antet de două ori la rând? Pentru a calcula această probabilitate, înmulțiți probabilitatea ambelor. În acest caz, acesta este de 0,5 x 0,5 = 0,25. Acest lucru este, desigur, și șansa de a vă rostogoli și apoi de a menta, deoarece ambele au o șansă de 0,5: 0,5 x 0,5 = 0,25.

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 12

Adăugați rezultatul "cap, apoi menta" în comparație. Acum că am calculat probabilitatea ca acest eveniment să se producă, putem continua să extindem ecuația. Există o șansă de 0,25 (sau 1/4) pe care o vom arunca de două ori fără să mergem mai departe. Dar acum avem încă nevoie de un număr mai mare de aruncări în medie pentru a obține rezultatul dorit, plus cele 2 pe care le-am aruncat deja. Sub forma unei comparații, aceasta devine (0,25) (x + 2), pe care o putem adăuga acum la ecuația:

x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + ___

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 13

Adăugați rezultatul "cap, cap" la comparație. Dacă arunci un antet, aruncând monedele primele două ori, atunci ați terminat. Ați obținut rezultatul în exact 2 aruncări. După cum am stabilit deja, există o probabilitate de 0,25 ca acest lucru să se întâmple, deci ecuația pentru acest lucru este (0,25) (2). Comparația noastră este acum completă:

x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + (0,25) (2)

Dacă nu sunteți sigur dacă ați crezut în orice situație posibilă, atunci există o modalitate ușoară de a verifica dacă comparația este completă. Primul număr din fiecare parte a ecuației reprezintă o reprezentare a probabilității ca un eveniment să se producă. Aceasta va fi întotdeauna împreună. Aici se aplică 0.5 + 0.25 + 0.25 = 1, deci știm că am luat în considerare fiecare situație.

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 14

Simplificați ecuația. Să facem comparația chiar mai simplă prin înmulțire. Amintiți-vă, dacă vedeți ceva în paranteze în felul următor: (0.5) (x + 1), apoi înmulțiți 0.5 pentru fiecare termen care se află între al doilea set de paranteze. Acest lucru vă oferă următoarele: 0.5x + (0.5) (1), sau 0.5x + 0.5. Să facem acest lucru pentru fiecare termen din ecuație, pentru a combina apoi acești termeni astfel încât să pară puțin mai simplu:

x = 0,5x + (0,5) (1) + 0,25x + (0,25) (2) + (0,25) (2)

x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5

x = 0,75x + 1,5

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 15

Rezolvați pentru x. Ca și în orice comparație, va trebui să izolați x de o parte a ecuației pentru ao calcula. Amintiți-vă că x înseamnă același lucru "numărul mediu de monede pe care trebuie să le arunci pentru a obține două capete la rând." Când am calculat x, am găsit și răspunsul nostru.

x = 0,75x + 1,5

x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x

0,25x = 1,5

(0,25x) / (0,25) = (1,5) / (0,25)

x = 6

În medie, va trebui să aruncați o monedă de 6 ori înainte să vă roșiți de două ori.

Metoda 3
Înțelegeți conceptul

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 16

Care este valoarea unei așteptări acum? Valoarea așteptată nu este neapărat rezultatul cel mai evident sau mai logic. Uneori, o valoare de așteptare poate fi chiar o valoare imposibilă într-o anumită situație. De exemplu, valoarea estimată poate fi + 5 € pentru un joc cu un premiu de maximum 10 €. Ceea ce indică valoarea așteptată este valoarea unei anumite evenimente. Dacă un joc are o valoare estimată de + 5 €, poți să îl joci dacă crezi că este timpul și banii pe care îl poți câștiga pe joc. Dacă un alt joc are o valoare estimată de - 20 €, jucați-l doar dacă credeți că fiecare joc valorează 20 €.

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 17

Înțelegeți conceptul de evenimente independente. În viața de zi cu zi, mulți dintre noi cred că avem o zi norocoasă când se întâmplă câteva lucruri bune și ne așteptăm ca restul zilei să continue. În același mod, putem să credem că am avut destui accident și că este foarte distractiv de făcut acum. Matematic, lucrurile nu merg așa. Dacă aruncați o monedă obișnuită, există exact aceleași șanse să aruncați o ceașcă sau o monedă. Nu contează cât de multe ori ați aruncat deja - data viitoare când arunci, funcționează în același fel. Aruncarea monedei este "independent" de la cealaltă aruncă, nu este afectată de ea.

Credința că poți fi norocos sau aruncând accidental monede (sau orice alt joc de noroc) sau că toată nenorocirea ta este terminată și că norocul este de partea ta, este, de asemenea, cunoscut ca o eroare a jucătorului. Acest lucru are legătură cu tendința oamenilor de a lua decizii riscante sau stupide atunci când simt că fericirea este de partea lor sau că ei "noroc" sau dacă le simt "norocul este pe cale să se întoarcă."

Imaginea intitulată Calculați o valoare așteptată Pasul 18

Înțelegeți legea numerelor mari. S-ar putea să credeți că valoarea așteptată nu este cu adevărat utilă, deoarece vă spune doar rar ce este rezultatul real al unei situații. Dacă ați calculat că valoarea așteptată a unui joc de ruleta este de - 1 € și veți juca jocul de 3 ori, veți ajunge, de obicei, la - 10 € sau + 60 € sau alt rezultat. "legea numerelor mari" ajută la explicarea motivului pentru care valoarea așteptată este mai utilă decât credeți: cu cât joci mai des, cu atât mai mult va fi valoarea așteptată la rezultatul mediu. Când te uiți la numărul mare de evenimente, șansele sunt că rezultatul final este aproape de valoarea așteptată.

sfaturi

Pentru acele situații în care sunt posibile multiple rezultate, puteți crea o foaie de calcul în calculator pentru a calcula valoarea așteptată prin rezultatele și probabilitățile lor.
Calculele € de mai sus funcționează și în alte valute.