sedhesrebsit.ru

Rezolvați ecuațiile de gradul doi în factori

Un polinom conține o variabilă (x) la o anumită putere și diferiți termeni și / sau constante. Pentru a descompune un polinom în factori, va trebui să spargeți expresia în expresii mai mici, care se înmulțesc împreună. Acest lucru necesită un anumit nivel matematic și, prin urmare, poate fi dificil de înțeles, dacă nu sunteți încă atât de departe.

pași

Începutul

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 1
1
Comparația. Formatul standard pentru o ecuație patratică este:

topor2 + bx + c = 0

Începeți prin aranjarea termenilor din ecuația dvs., de la cea mai înaltă la cea mai mică putere. De exemplu, luați:

6 + 6x2 + 13x = 0

Vom rearanja această expresie pentru a facilita lucrul cu - pur și simplu prin mutarea termenilor:

6x2 + 13x + 6 = 0
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de nivel (ecuații patratice) Pasul 2
    2
    Găsiți factorii utilizând una din metodele de mai jos. Descompunerea în factori a polinomului va avea ca rezultat două expresii mai mici care pot fi multiplicate împreună pentru a obține polinomul original:

    6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

    În acest exemplu, (2x + 3) și (3x + 2) sunt factori din expresia originală, 6x2 + 13x + 6.
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 3
    3
    Verifică munca ta! Multiplicați factorii pe care i-ați găsit. Combinați termenii egali și ați terminat. Începeți cu:

    (2x + 3) (3x + 2)

    Să încercăm acest lucru prin înmulțirea termenilor folosind EBBL (primul - exterior - cel mai interior), astfel încât să obținem:

    6x2 + 4x + 9x + 6

    Acum numărăm 4x și 9x împreună, deoarece aceștia sunt termeni egali. Știm că acești factori sunt corecți pentru că ne întoarcem comparația cu care am început:

    6x2 + 13x + 6

    • Metoda 1
    Încercare și eroare

    Dacă aveți un polinom destul de simplu, puteți vedea imediat ce sunt factorii. De exemplu, după ce unii practică mulți matematicieni sunt capabili să vadă acea expresie 4x2 + 4x + 1 factorii (2x + 1) și (2x + 1) au, doar pentru că au văzut acest lucru atât de des. (În mod evident, acest lucru nu va fi atât de ușor cu polinoame mai complexe.) Să luăm o expresie mai puțin standard în acest exemplu:

    3x2 + 2x - 8
    Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 4
    1
    Notați factorii din o pe termen lung și pe c pe termen lung. Utilizați aspectul topor2 + bx + c = 0, recunosc o și c termeni și notează ce factori există. Pentru 3x2 + 2x - 8, aceasta înseamnă:

    a = 3 și are o pereche de factori: 1 * 3

    c = -8 și are 4 perechi de factori: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 și -1 * 8.
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 5
    2
    Notați două perechi de paranteze cu un spațiu gol. Aici introduceți constantele fiecărei expresii:

    (x) (x)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de nivel (ecuații patratice) Pasul 6
    3
    Umple spațiul pentru x cu un număr de factori posibili ai o valoare. Pentru o termen în exemplul nostru, 3x2, există doar 1 posibilitate:

    (3x) (1x)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de la factor (ecuații patratice) Pasul 7
    4
    Completați cele două spații după x-uri cu câțiva factori pentru constante. Să presupunem că alegem 8 și 1. Introduceți această opțiune:

    (3x 8) (x 1)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de la factor (ecuații patratice) Pasul 8
    5
    Determinați care caractere (plus sau minus) trebuie să fie între variabilele x și numerele. În funcție de personajele expresiei originale, este posibil să se afle care ar trebui să fie semnele constantelor. Să luăm în considerare cele două constante ale celor doi factori h și k apelați:

    Ca topor2 + bx + c atunci (x + h) (x + k)

    Ca topor2 - bx - c sau ax2 + bx - c atunci (x - h) (x + k)

    Ca topor2 - bx + c atunci (x - h) (x - k)

    În exemplul nostru, 3x2 + 2x - 8, este semnul: (x - h) (x + k), cu care primim următorii doi factori:

    (3x + 8) și (x - 1)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 9
    6
    Testați-vă alegerea cu multiplicarea primul-exterior-interior-ultima. Un prim test rapid pentru a vedea dacă termenul mediu are cel puțin valoarea corectă. Dacă nu este cazul, probabil că aveți unul greșit c factorii aleși. Să testați răspunsul:

    (3x + 8) (x - 1)

    Prin multiplicare obținem:

    3x2 - 3x + 8x - 8

    Simplificați această expresie prin adăugarea acelorași termeni (-3x) și (8x), și apoi obțineți:

    3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8

    Știm acum că am luat greșit factorii:

    3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 10
    7
    Schimbați-vă opțiunile, dacă este necesar. În exemplul nostru, să încercăm 2 și 4, în loc de 1 și 8:

    (3x + 2) (x - 4)

    Acum este al nostru c termenul egal cu -8, dar produsul exterior / interior al lui (3x * -4) și (2 * x) este -12x și 2x, cu care nu ești b termen sau + 2x.

    -12x + 2x = 10x

    10x ≠ 2x
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul II (ecuații patratice) Pasul 11
    8
    Transformați ordinea, dacă este necesar. Să încercăm să transformăm 2 și 4:

    (3x + 4) (x - 2)

    Acum este al nostru c (4 * 2 = 8) și încă în ordine, dar produsele exterioare / interioare sunt -6x și 4x. Dacă le combinăm, obținem:

    -6x + 4x = 2x

    2x ≠ -2x
    Acum ne apropiem de cel de 2x în care vrem să fim, dar semnul nu este încă corect.
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 12
    9
    Verificați-vă semnele dacă este necesar. Păstrăm această ordine, dar schimbați-o cu semnul minus:

    (3x - 4) (x + 2)

    Acum este c termenul este încă în regulă, iar produsele exterioare / interioare sunt acum (6x) și (-4x). deoarece:

    6x - 4x = 2x

    2x = 2x
    Acum vedem pozitivul 2x inapoi de la problema originala. Acestea trebuie să fie factorii potriviți.

    • Metoda 2
    descompunere

    Această metodă indică toți factorii posibili o și c termeni și le folosește pentru a afla care sunt factorii corecți. Dacă numerele sunt foarte mari sau presupunerile altor metode vor dura prea mult, utilizați-le în acest fel. Un exemplu:

    6x2 + 13x + 6
    Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de la factor (ecuații patratice) Pasul 13
    1
    Înmulțiți o pe termen lung cu c pe termen lung. În acest exemplu, o este 6 și c este de asemenea 6.

    6 * 6 = 36
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 14
    2
    Găsiți b termen de descompunere în factori și de testare. Căutăm 2 numere care sunt factori o * c , și împreună b (13).

    4 * 9 = 36

    4 + 9 = 13
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 15
    3
    Înlocuiți cele două numere pe care le obțineți în ecuația voastră ca sumă b pe termen lung. hai k și h pentru a reprezenta cele 2 numere pe care le avem, 4 și 9:

    topor2 + kx + hx + c

    6x2 + 4x + 9x + 6
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 16
    4
    Factorizați polinomul prin grupare. Organizați ecuația astfel încât să puteți izola cel mai mare divizor comun al primilor doi termeni și ultimii doi termeni. Ambii factori ar trebui să fie aceiași. Adăugați GGD-urile și plasați-le în paranteze, în plus față de factori. Ca rezultat veți obține cei doi factori:

    6x2 + 4x + 9x + 6

    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

    (2x + 3) (3x + 2)

    • Metoda 3
    Triple Play

    La fel ca metoda de descompunere. Metoda triple play examinează factorii posibili ai produsului o și c și o folosește pentru a afla ce b trebuie să fie. Luați ecuația ca exemplu:

    8x2 + 10x + 2


    Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 17
    1
    Înmulțiți o pe termen lung cu c pe termen lung. Ca și în cazul metodei de descompunere, determinăm candidații pentru b pe termen lung. În acest exemplu: o este 8 și c este 2.

    8 * 2 = 16
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 18
    2
    Găsiți cele 2 numere cu acest număr ca produs și cu o sumă egală cu b pe termen lung. Acest pas este același cu metoda de descompunere - încercăm candidații pentru constante. Produsul o și c termenii sunt 16, și c termenul este de 10:

    2 * 8 = 16

    8 + 2 = 10
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de nivel (ecuații patratice) Pasul 19
    3
    Luați aceste două numere și le înlocuiți în formula "triplu play". Luați cele 2 numere din pasul anterior - să le avem h și k apel - și plasați-le în expresie:

    ((ax + h) (ax + k)) / a


    Cu aceasta avem:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 20
    4
    Vedeți care dintre cei doi termeni din numitor poate fi complet împărțit prin o. În acest exemplu, considerăm că (8x + 8) sau (8x + 2) poate fi împărțit la 8. (8x + 8) este divizibil cu 8, deci împărțim acest termen o și lăsați pe cealaltă persoană neatinsă.

    (8x + 8) = 8 (x + 1)

    Termenul pe care l-am salvat aici este cel care rămâne după ce a fost partajat de către o termen: (x + 1)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul al doilea grad (ecuații patratice) Pas 21
    5
    Luați cel mai mare divizor comun (ggd) din unul sau ambii termeni, dacă acest lucru este posibil. În acest exemplu vedem că al doilea termen are un ggd de 2, deoarece 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combinați acest răspuns cu termenul descoperit în pasul anterior. Acestea sunt factorii de comparație.

    2 (x + 1) (4x + 1)

    • Metoda 4
    Diferența dintre două pătrate

    Unii coeficienți dintr-un polinom pot fi recunoscuți ca "pătrate", sau, de asemenea, ca produs de 2 aceleași numere. Aflând care sunt aceste pătrate, este posibil să puteți descompune polinomii în factori mult mai rapid. Luăm ecuația:

    27x2 - 12 = 0
    Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 22
    1
    Îndepărtați ggd-ul din ecuație, dacă acest lucru este posibil. În acest caz vedem că 27 și 12 sunt ambele divizibile cu 3, deci le putem plasa separat:

    27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 23
    2
    Determinați dacă coeficienții ecuației dvs. sunt pătrate. Pentru a utiliza această metodă, este necesar să putem determina rădăcina termenilor. (Rețineți că am omis semnele minus - deoarece aceste numere sunt pătrate, poate să apară că acestea sunt produsul a 2 numere negative)

    9x2 = 3x * 3x și 4 = 2 * 2
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de la factor (ecuații patratice) Pasul 24
    3
    Cu ajutorul rădăcinii pătrate pe care ați determinat-o, acum puteți să dereziți factorii. Luăm o și c valori din etapa anterioară: o = 9 și c = 4, astfel încât rădăcinile sunt: ​​- √o = 3 și √c = 2. Acestea sunt coeficienții expresiilor treptate:

    27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

    • Metoda 5
    Formula abc

    Dacă nimic nu pare să funcționeze și nu puteți descompune ecuația, utilizați formula abc. Luați următorul exemplu:

    X2 + 4x + 1 = 0
    Imaginea intitulată Polinomi de gradul II (ecuații patratice) factor 25
    1
    Introduceți valorile corespunzătoare în formularul ABC:

    x = -b ± √ (b2 - 4ac)
    ---------------------
    2a

    Acum obținem expresia:

    x = -4 ± √ (42 - 4 • 1 • 1) / 2
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de tip Factor (ecuații patratice) Pasul 26
    2
    Rezolvați pentru x. Ar trebui să obțineți acum două valori pentru x. Acestea sunt:


    x = -2 + √ (3) sau x = -2 - √ (3)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 27
    3
    Utilizați valorile lui x pentru a determina factorii. Introduceți valorile x pe care le-ați obținut în cele două ecuații drept constante. Acestea sunt factorii dvs. Dacă avem cele două răspunsuri h și k sunați, scriem cei doi factori după cum urmează:

    (x - h) (x - k)

    În acest caz, răspunsul final este:

    (x - (2 + √ (3)) (x - (2 - √ (3)

    • Metoda 6
    Utilizați un calculator

    Dacă este permis (sau obligatoriu) utilizarea unui calculator de grafic, acest lucru va face descompunerea factorilor mult mai ușoară, în special în timpul examinărilor și examinărilor. Următoarele instrucțiuni se referă la un calculator de grafică TI. Utilizăm ecuația din exemplu:

    y = x2 - x - 2
    Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 28
    1
    Introduceți ecuația în calculatorul dvs. Veți folosi solverul pentru ecuații, cunoscut și sub numele de ecran [Y =].
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 29
    2
    Desenați un grafic al ecuației cu ajutorul calculatorului. Odată ce ați intrat în ecuație, apăsați [GRAPH] - veți auzi acum o linie curbată, o parabolă ca o reprezentare grafică a ecuației dvs. (și este o parabolă deoarece avem de-a face cu un polinom).
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 30
    3
    Aflați unde se intersectează parabola cu axa x. Deoarece o ecuație de gradul doi este remarcată în mod tradițional ca topor2 + bx + c = 0, acestea sunt cele două valori x care asigură faptul că ecuația este egală cu zero:

    (-1, 0), (2, 0)

    x = -1, x = 2
  • Dacă nu puteți vedea unde intersectează parabola cu axa x, apăsați [2] și apoi [TRACE]. Apăsați [2] sau selectați "zero". Mutați cursorul la stânga unei intersecții și apăsați [ENTER]. Deplasați cursorul spre dreapta unei intersecții și apăsați pe [ENTER]. Mutați cursorul cât mai aproape posibil de punctul de intersecție și apăsați [ENTER]. Calculatorul va indica valoarea x. Faceți acest lucru și pentru cealaltă intersecție.
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 31
    4
    Introduceți valorile x pe care le-ați obținut în cele două expresii terminate. Dacă avem cele două valori x h și k notați ca termen, expresia pe care o folosim arată astfel:

    (x - h) (x - k) = 0

    Deci, cei doi factori devin:

    (x - (1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

    • sfaturi

    • Dacă ați dizolvat polinomul cu formula abc și răspunsul dvs. conține rădăcini, puteți converti valorile x în fracții pentru a le verifica.
    • Dacă un termen nu are un coeficient pentru el, atunci coeficientul este egal cu 1, de exemplu x2 = 1x2.
    • Dacă aveți un calculator TI-84, există un program numit SOLVER care poate rezolva o ecuație cuadratoare pentru dvs. Acest lucru rezolvă, de asemenea, polinoame de grad mai înalt.
    • După multă practică, vei reuși în cele din urmă să rezolvi polinomii din cap. Dar, pentru sigur, este mai bine să le scrieți mereu.
    • Dacă un termen nu există, atunci coeficientul este egal cu zero. Apoi poate fi util să rescrieți ecuația. De ex X2 + 6 = x2 + 0x + 6.

    avertismente

    • Dacă învățați acest concept în matematică, acordați atenție la ceea ce explică profesorul și nu folosiți doar metoda proprie preferată. S-ar putea să vi se solicite să utilizați o metodă specifică cu un test sau că nu este permisă utilizarea calculatoarelor grafice.

    accesorii

    • creion
    • hârtie
    • Ecuația quadratică (de asemenea, o ecuație de gradul doi)
    • Calculator grafic (opțional)
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit
    Determinați gradul de polinomDeterminați gradul de polinom
    Găsiți zerourile unei funcțiiGăsiți zerourile unei funcții
    Rezolva o expresie algebricăRezolva o expresie algebrică
    Un polinom grad de gradul III se descompune în factoriUn polinom grad de gradul III se descompune în factori
    Rezolvați o ecuație de gradul al treileaRezolvați o ecuație de gradul al treilea
    Descompune un număr în factoriDescompune un număr în factori
    Creați un grafic al unei funcțiiCreați un grafic al unei funcții
    Rezolvați o ecuație în două etapeRezolvați o ecuație în două etape
    Găsiți intersecția cu axa xGăsiți intersecția cu axa x
    Rezolva ecuațiile patraticeRezolva ecuațiile patratice
    » » Rezolvați ecuațiile de gradul doi în factori

    © 2011—2021 sedhesrebsit.ru