Creați un grafic al unei funcții

O ecuație de gradul doi este prezentată ca un grafic topor²

conținut

Pași
Sfaturi

+ bx + c , de asemenea, care este scris ca a (x-h)² + k, arata ca o curba buna in forma de U. O numim pe asta parabolă. Efectuarea unui grafic al unei ecuații de gradul doi are de-a face cu găsirea vârfului, a direcției și, adesea, și a intersecțiilor cu axa x și axa y. În cazul ecuației relativ simple de gradul doi, poate fi de asemenea suficient să se introducă un număr de valori pentru x pentru a indica aceste puncte în sistemul de coordonate, după care parabola poate fi trasă. Continuați cu pasul 1 pentru a începe acest lucru.

pași

Imaginea intitulată Graph a equation quadratic Pasul 1

Determinați ce ecuație de clasa a doua aveți. Acest lucru poate fi scris în două moduri: notația standard și notația vârfului (alt mod de a scrie formula rădăcină). Ambele pot fi folosite pentru a realiza un grafic al unei ecuații de gradul doi, dar acest proces este ușor diferit în ambele cazuri. De obicei, veți întâlni formularul standard, dar cu siguranță nu vă faceți rău să învățați să utilizați ambele forme. Cele două forme ale unei ecuații de gradul doi sunt:

Formularul standard. Ecuația de gradul doi este notată aici ca: f (x) = ax² + bx + c unde a, b și c sunt numere reale și a nu este egală cu zero.

Două exemple de ecuații standard de gradul doi: f (x) = x² + 2x + 1 și f (x) = 9x² + 10x -8.

Forma vârfului. Aici ecuația gradului al doilea este notată ca: f (x) = a (x - h)² + k unde a, h și k sunt numere reale și a nu este egală cu zero. Această formă se numește vertex deoarece h și k se referă direct la partea superioară a parabolei dvs. în punctul (h, k).

Două exemple de ecuații în formă de vârfuri sunt f (x) = 9 (x - 4)² + 18 și -3 (x - 5)² + 1

Pentru a putea face un grafic din aceste comparații, mai întâi determinăm partea de sus (h, k) a graficului. În ecuația standard găsiți acest lucru prin: h = -b / 2a și k = f (h), în timp ce acesta este deja dat în vertex deoarece h și k sunt în ecuație.

Imaginea intitulată Graful o ecuație patratică Pasul 2

Determinați variabilele dvs. Pentru a rezolva o ecuație patratică, este de obicei necesar să se determine variabilele a, b și c (sau a, h, și k). O sarcină obișnuită vă va oferi o ecuație de gradul doi în forma standard, dar notația de vârf ar putea să apară și ea.

De exemplu: funcția standard f (x) = 2x² +16x + 39. Aici avem a = 2, b = 16 și c = 39.

În notația vârfului: f (x) = 4 (x - 5)² + 12. Aici avem a = 4, h = 5 și k = 12.

Imaginea intitulată Graph a equation quadratic Pasul 3

Calculați h. În notația vertexului valoarea h este deja dată, dar în notația standard această valoare nu a fost încă calculată. Amintiți-vă că ecuația standard deține: h = -b / 2a.

Exemplul 1. (f (x) = 2x² +16x + 39), h = -b / 2a = -16 / 2 (2). Rezolvind acest lucru vedem că h = -4.

Exemplul 2. (f (x) = 4 (x-5)² + 12), vedem imediat că h = 5.

Imaginea intitulată Graful o ecuație patratică Pasul 4

Calculați k. Ca și în cazul h, k este deja cunoscut în ecuații în forma vârfurilor. Pentru comparații în notația standard, vă puteți aminti că k = f (h). Cu alte cuvinte, puteți găsi k prin înlocuirea fiecărei variabile x cu valoarea h.

De exemplu, am văzut că h = -4. Pentru a găsi acum k rezolvăm această ecuație prin introducerea acestei valori a h în ecuație, pentru variabila x:

k = 2 (-4)² + 16 (-4) + 39.

k = 2 (16) - 64 + 39.

k = 32 - 64 + 39 = 7

Din exemplul 2 știm că valoarea lui k este egală cu 12, fără a fi nevoie de un calcul.

Imaginea intitulată Graful o ecuație patratică Pasul 5

Desenați partea superioară sau valea graficului. Summitul sau valea parabolei este punctul (h, k) - h reprezintă coordonata x și k reprezintă coordonata y. Partea superioară este centrul parabolei dvs. - punctul cel mai înalt sau cel mai de jos, vârful sau valea, al unui grafic sub forma unei "tu" sau invers. Capacitatea de a determina vârful unei parabole este o parte esențială a faptului că este capabil să deseneze un grafic corect - adesea determinând partea superioară a unei parabole face parte dintr-o problemă de matematică la școală.

În exemplul 1, partea de sus a graficului este (-4,7). Desenați punctul din diagramă și asigurați-vă că aveți coordonatele numite corect.

În exemplul 2, partea de sus este (5.12). Deci, din punctul (0,0) mergeți 5 locuri spre dreapta și apoi 12 în sus.

Imaginea intitulată Graph a equation quadratic Step 6

Dacă este necesar, trageți axa de simetrie a parabolei. Axa de simetrie a unei parabole este linia care intersectează figura în mijloc și o împarte exact în jumătate. O latură a graficului este reflectată de-a lungul acestei linii în cealaltă parte a graficului. În ecuațiile de gradul doi de ambele forme ax² + bx + c sau a (x - h)² + k, această axă este linia paralelă cu axa y care trece prin partea superioară a parabolei.

În cazul exemplului 1, axa de simetrie este linia paralelă cu axa y și trece prin punctul (-4, 7). Deși nu face parte din parabola însăși, ușoară indicație a acestei linii de asistență vă poate arăta cât de simetrică este curba parabolei.

Imaginea intitulată Grafică o ecuație patratică Pasul 7

Determinați direcția parabolei. După ce ați descoperit ce este partea superioară a parabolei, este necesar să știți dacă aveți de-a face cu o parabolă de munte sau de vale, deci dacă deschiderea se află în partea de jos sau în partea de sus. Din fericire, acest lucru este foarte simplu. ca "o" este pozitiv, trebuie să vă ocupați de o parabolă a văii "o" negativ atunci este o parabola de munte (cu deschiderea de la partea de jos)

În exemplul 1 avem de-a face cu funcția (f (x) = 2x² +16x + 39), iar aceasta este o parabolă a văii, deoarece a = 2 (pozitivă).

În exemplul 2 avem de-a face cu funcția f (x) = 4 (x - 5)² + 12), iar aceasta este și o parabolă de vale deoarece a = 4 (pozitiv).

Imaginea intitulată Graph a equation quadratic Step 8

Determinați, dacă este necesar, intersecțiile parabolei. Adesea matematica este rugată să dea intersecțiile parabolei cu axa x (acestea sunt "zero". unul sau două puncte în care parabola intersectează sau atinge axa x). Chiar dacă acest lucru nu este solicitat, aceste puncte sunt foarte importante pentru a putea desena un grafic precis. Dar nu toate parabolele au o intersecție cu axa x. Dacă aveți de-a face cu o parabolă a văii și punctul de vale este deasupra axei x sau, în cazul unei parabole montane, chiar sub axa x, nu există pur și simplu puncte de intersecție. Dacă este cazul, utilizați una dintre următoarele metode:

Determinați f (x) = 0 și rezolvați ecuația. Această metodă poate funcționa pentru ecuații simple de gradul doi, cu siguranță în forma vârfurilor, dar veți observa că acest lucru devine tot mai dificil, pe măsură ce funcțiile devin mai complexe. Mai jos sunt câteva exemple.

f (x) = 4 (x-12)²

0 = 4 (x - 12)² - 4

4 = 4 (x - 12)²

1 = (x - 12)²

SqRt (1) = (x-12)

+/ - 1 = x -12. x = 11 și 13 sunt intersecțiile cu axa x a parabolei.

Se dizolvă ecuația în factori. Unele comparații în formă de topor² + bx + c poate fi ușor rescris ca (dx + e) (fx + g), unde dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx și e × g = c. În acest caz, punctele de intersecție x sunt valorile lui x cu fiecare termen din paranteze egal cu 0. De exemplu:

X² + 2x + 1

= (x + 1) (x + 1)

În acest caz, intersecția este egală cu -1, deoarece acest lucru, dat în ambii factori, dă zero.

Utilizați formula abc. Dacă nu este ușor să ajungeți în spatele intersecțiilor sau să descompuneți ecuația în factori, utilizați "abc formula" special destinate acestui scop. Să presupunem o ecuație în formă de topor² + bx + c. Apoi introduceți valorile a, b și c în formula x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac)) / 2a. Rețineți că primiți de multe ori două răspunsuri pentru x, ceea ce este bine - înseamnă pur și simplu că parabola dvs. are două intersecții cu axa x. Iată un exemplu:

-5x² + Introduceți 1x + 10 în ecuație în modul următor:

x = (-1 +/- SqRt (1² - 4 (-5) (10)) / 2 (-5)

x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10

x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10

x = (-1 +/- 14,18) / - 10

x = (13,18 / -10) și (-15,18 / -10). Intersecțiile parabolei cu axa x sunt aproximativ x = -1318 și 1518

Ca în exemplul 1 cu ecuația 2x² + 16x + 39 acest aspect arata astfel:

x = (-16 +/- SqRt (16² - 4 (2) (39)) / 2 (2)

x = (-16 +/- SqRt (256-312)) / 4

x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10

Deoarece nu este posibil să găsim rădăcina unui număr negativ, știm că nu există intersecții cu axa x pentru această parabolă specifică.

Imaginea intitulată Graph a equation quadratic Pasul 9

Determinați, dacă este necesar, punctul de intersecție a parabolei cu axa y. Adesea nu este necesar, dar uneori este necesar să găsim acest punct de intersecție, de exemplu pentru o sarcină matematică. Acest lucru este destul de simplu - setați valoarea lui x la 0 și rezolvați ecuația pentru f (x) sau y, ceea ce vă oferă valoarea y a punctului în care parabola se intersectează cu axa y. Diferența cu punctele de intersecție prin axa x este că există întotdeauna o singură intersecție la axa y. Notă - pentru ecuațiile standard, intersecția cu axa y este y = c.

De exemplu, cunoaștem ecuația de gradul doi de 2x² + 16x + 39 are o intersectie y = 39, dar putem gasi si aceasta dupa cum urmeaza:

f (x) = 2x² + 16x + 39

f (x) = 2 (0)² + 16 (0) +39

f (x) = 39. Punctul de intersecție al parabolei cu axa y: y = 39. Așa cum am arătat mai sus, putem citi cu ușurință punctul de intersecție deoarece y = c.

Ecuația 4 (x - 5)² + 12 are o intersecție cu axa y care poate fi găsită după cum urmează:

f (x) = 4 (x-5)² + 12

f (x) = 4 (0-5)² + 12

f (x) = 4 (-5)² + 12

f (x) = 4 (25) + 12

f (x) = 112. Intersecția cu axa y: y = 112.

Imaginea intitulată Graful o ecuație patratică Pasul 10

Dacă găsiți acest lucru necesar, trageți mai întâi puncte suplimentare și apoi întregul grafic. Acum aveți un vârf sau o vale, o direcție, intersecții cu axa x și posibil cu axa y a ecuației. Din acest punct puteți încerca să desenați parabola folosind aceste puncte sau puteți încerca să găsiți mai multe puncte, astfel încât graficul să devină mai precis. Cea mai ușoară modalitate de a face acest lucru este să completați pur și simplu un număr de valori x care returnează un număr de valori y. Adesea se va cere (de către profesor) să calculeze mai întâi un număr de puncte înainte de a începe să desenați parabola.

Să examinăm din nou ecuația x² + 2x + 1. Știm deja că singurul punct de intersecție cu axa x este (-1,0). Deoarece atinge doar axa x în acest moment, putem deduce din aceasta că vârful graficului este egal cu acest punct. Până acum, avem doar un punct al acestei parabole - nu este suficient pentru a putea desena un grafic. Să luăm câteva puncte pentru a ne asigura că avem mai multe valori.

Să încercăm să găsim valorile y care aparțin următoarelor valori x: 0, 1, -2 și -3.

x = 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Apoi punctul (0,1).

x = 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Apoi punctul (1,4).

x = -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Apoi punctul (-2.1).

x = -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Apoi punctul (-3.4).

Plasați aceste puncte în grafic și desenați parabola. Rețineți că parabolei este complet simetric - dacă știi punctele de pe o parte a graficului, puteți salva, de obicei, o mulțime de muncă le folosesc aceste puncte pentru a găsi punctele de pe cealaltă parte a axei de simetrie .

sfaturi

Numere rotunde, dacă este necesar, sau utilizați fracții. Acest lucru vă poate ajuta să afișați corect un grafic.
Rețineți că dacă, cu funcția f (x) = ax² + bx + c, b sau c sunt zero, acești termeni vor dispărea. De exemplu, 12x² + 0x + 6 devine egal cu 12x² + 6 deoarece 0x este egal cu 0.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit