Rezolvați o ecuație de gradul al treilea

Prima dată când întâlniți o ecuație de gradul trei (a formularului topor

conținut

Pași
Metoda 1rezolvarea cu formula abc
Metoda 2rezolvați-l folosind liste de factori
Metoda 3folosind "discriminant"

³ + bx² + cx + d = 0) care ar putea părea aproape insolubil. Cu toate acestea, această metodă pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul trei a existat de secole! În secolul al XVI-lea a fost descoperită de matematicienii italieni Niccolò Tartaglia și Gerolamo Cardano. A fost una dintre primele formule care nu erau cunoscute de vechii greci și romani. Rezolvarea ecuațiilor de gradul trei poate fi foarte dificilă, dar cu abordarea corectă (și cunoștințe de bază suficiente), chiar și cele mai dificile ecuații de gradul al treilea pot fi îmblânzite.

pași

Metoda 1
Rezolvarea cu formula ABC

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 1

Verificați dacă ecuația de gradul trei conține o constantă. După cum sa arătat mai sus, ecuațiile de gradul trei au forma topor³ + bx² + cx + d = 0. b, c, și d poate fi 0 fără a schimba nimic dacă este vorba sau nu cu o ecuație de gradul al treilea - în principiu aceasta înseamnă că o comparație nu trebuie să cuprindă toți termenii bx², cx sau d a fi o ecuație de gradul trei. Începeți prin aplicarea acestei metode relativ simple pentru a rezolva ecuațiile de gradul trei, verificând mai întâi dacă ecuația dvs. are o constantă (a d-valoare). Este asta nu este cazul, atunci poți abc formula pentru a găsi răspunsurile la ecuație cu un pic de calcul.

Dacă comparația conține o constantă, va trebui să utilizați o altă metodă. Vedeți mai jos pentru abordări alternative.

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 2

Soluționați unul X din ecuație. Deoarece ecuația dvs. nu conține o constantă, fiecare termen din ecuație are unul X-variabilă. Asta înseamnă că unul X poate fi dizolvat din ecuație pentru ao simplifica. Faceți acest lucru și rescrieți ecuația în formă X(topor² + bx + c).

De exemplu, să presupunem că aveți ecuația 3X³ + -2X² + 14X= 0. Cu unul X pentru a plasa paranteze în afară, ajungem X(3X² + -2X + 14) = 0.

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 3

Utilizați formula abc pentru a rezolva termenii în paranteze. Probabil ați observat că termenii noii dvs. ecuații în paranteze sunt sub forma unei ecuații de gradul doi (topor² + bx + c). Aceasta înseamnă că putem găsi valorile pentru care ecuația de gradul doi este zero a, b și c în formula abc ({-b +/ -√ (b²- 4AC)} / 2o). Cu aceasta veți găsi două dintre răspunsurile celei de-a treia ecuații.

În exemplul nostru de atribuire, ne suplimentează valorile a, b și c (respectiv 3, -2 și 14) după cum urmează în ecuația de gradul doi în:

{-b +/ -√ (b²- 4AC)} / 2o

{- (- 2) +/- √ ((-2)²- 4 (3) (14)} / 2 (3)

{2 +/- √ (4 - (12) (14)} / 6

{2 +/- √ (4 - (168)} / 6

{2 +/- √ (-164)} / 6

Răspunsul 1:

{2 + √ (-164)} / 6

{2 + 12,8eu} / 6

Răspunsul 2:

{2 - 12.8eu} / 6

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 4

Utilizați zero și răspunsurile patrate ca răspuns la ecuația dvs. de gradul al treilea. Ecuațiile de gradul doi au două soluții, dar există trei ecuații de gradul trei. Aveți deja două - acestea sunt răspunsurile pe care le-ați găsit elaborând "ecuația patratică" între paranteze. În acele cazuri în care o comparație este potrivită pentru această "deconectare", al treilea răspuns va fi întotdeauna 0 sunt. Felicitări - tocmai ați rezolvat o ecuație de gradul trei.

Motivul pentru care acest lucru are legătură cu faptul fundamental fiecare număr înmulțit cu zero este egal cu zero. Când convertiți comparația la formular X(topor² + bx + c) = 0, în mod esențial împărțiți cele două părți: o parte este X-variantele variabile din afara și celălalt este pătratul din paranteze. Dacă una dintre aceste părți este egală cu zero, atunci aceasta se aplică întregii ecuații. Deci, dacă cele două răspunsuri pentru a face piața din paranteze acea parte la zero, răspunsurile la ecuația cubică va face între paranteze piesa din afara, de asemenea, la zero.

Metoda 2
Rezolvați-l folosind liste de factori

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 5

Asigurați-vă că ecuația dvs. de gradul trei are o constantă. Deși metoda de mai sus este utilă pentru că nu trebuie să înveți noi abilități matematice, nu va funcționa întotdeauna pentru a rezolva ecuațiile de gradul al treilea. Dacă comparația dvs. este sub forma topor³ + bx² + cx + d = 0, și d este inegală la zero, atunci oprirea nu va funcționa și aveți nevoie de această metodă sau de cea din următoarea parte.

De exemplu, să presupunem că aveți ecuația dată 2X³ + 9X² + 13X= -6. În acest caz, o valoare 0 în partea dreaptă a semnalului egal va necesita adăugarea a 6 pe ambele părți. Noua noastră ecuație este 2X³ + 9X² + 13X + 6 = 0, d= 6, deci nu putem folosi parantezele din partea anterioară.

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 6

Determinați factorii o și d. Pentru a rezolva ecuația treilea grad, începeți prin determinarea factorilor de o (coeficientul X³ termen) și d (constanta la sfarsitul ecuatiei). Ca o reamintire, factorii sunt acele numere care se înmulțesc împreună formează un număr diferit. De exemplu, pentru că 6 rezultă din înmulțirea 6 &timp-1 și 2 × 3, sunt 1, 2, 3 și 6 factori de 6.

Aplicația noastră de exemplu este valabilă o= 2 și d =6. Factorii de 2 sunt 1 și 2. Factorii de 6 sunt 1, 2, 3 și 6.

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 7

Împărțiți factorii o de factorii d. Acum, faceți o listă cu toate valorile pe care le obțineți prin partajarea fiecărui factor o de fiecare factor d. Aceasta are de obicei rezultate în mai multe fracții și câteva numere întregi. Soluțiile în numere întregi ale ecuației dvs. de gradul trei vor fi fie unul dintre numerele întregi din listă, fie numărul negativ al unuia dintre aceste numere.

În ecuația noastră, calculați factorii de o (1, 2) cu privire la factorii d (1, 2, 3, 6) și obțineți următoarea listă: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 și 2/3. Acum adăugăm numerele negative în listă pentru ao completa: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 și -2/3. Numărul întreg al soluției ecuației noastre de gradul trei se găsește undeva în această listă.

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 8

Utilizați partajarea sintetică pentru a verifica manual răspunsurile. După ce ați compilat lista de valori pe care soluțiilor veți găsi ecuație cubică format din numere întregi, de repede introduceți manual orice număr întreg și de a afla care sunt zero. Dacă nu doriți să petreceți mai mult timp pe această cale, atunci există o metodă ușor mai rapidă o tehnică numită partajare sintetică. Miezul este că împărțiți numere întregi cu cele originale a, b, c și d coeficienții ecuației de gradul al treilea. Dacă lăsați un rest 0, atunci valoarea dvs. este una dintre soluțiile ecuației de gradul al treilea.

Schimbul sintetic este un subiect complex - urmați link-ul de mai sus pentru mai multe informații. Iată un exemplu în care puteți găsi una dintre soluțiile ecuației noastre de gradul al treilea cu ajutorul părților sintetice:

-1 | 2 9 13 6

__ | -2-7-6

__ | 2 7 6 0

Pentru că în cele din urmă avem 0 ca restul, știm că una dintre soluțiile ecuației noastre de gradul al treilea este numărul întreg -1 este.

Metoda 3
Folosind "discriminant"

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 9

Scrieți valorile a, b, c și d. În această metodă de a găsi soluțiile unei ecuații de gradul al treilea, ne vom baza foarte mult pe coeficienții termenilor din ecuația noastră. Din acest motiv, este înțelept să folosiți termenii a, b, c și d pentru a scrie înainte de a începe, astfel încât să nu uitați ceea ce este fiecare.

De exemplu, pentru comparație X³ - 3X² + 3X - 1, scriem o= 1, b= -3, c= 3 și d= -1. Nu uita asta de unul X-variabila fără coeficient se presupune că coeficientul este egal cu 1.

Imaginea cu titlul Rezolva o ecuație cubică Pasul 10

Calculați Δ0 =b² - 3AC. Când utilizați discriminante pentru a rezolva o ecuație cubică, atunci aveți matematica nevoi mai avansate, dar dacă urmați cu atenție procedura, veți observa că acesta este un instrument valoros pentru rezolvarea ecuațiilor cubice deja dificile. Începeți prin determinarea Δ0, prima dintre câteva valori importante de care avem nevoie, înlocuind valorile corecte în formula b² - 3AC.

În exemplul nostru, rezolvăm acest lucru după cum urmează:

b² - 3AC

(-3)² - 3 (1) (3)

9 - 3 (1) (3)

9 - 9 =0= Δ0

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 11

Calculați Δ1 = 2b³ - 9Abc + 27o²d. Următoarea cantitate importantă de care avem nevoie, Δ1, necesită un pic mai mult de lucru, dar poate fi găsită în aproximativ același fel ca Δ0. Depuneți valorile corecte în formula 2b³ - 9Abc + 27o²d pentru valoarea lui Δ1.

În exemplul nostru, rezolvăm acest lucru după cum urmează:

2 (-3)³ - 9 (1) (- 3) (3) + 27 (1)²(-1)

2 (-27) - 9 (-9) + 27 (-1)

-54 + 81 - 27

81 - 81 =0= Δ1

Imaginea cu titlul Rezolvați o ecuație cubică Pasul 12

Calculați Δ = Δ1² - 4Δ0³) ÷ -27o². Apoi calculam discriminantă din ecuația de gradul trei de la valorile pentru Δ0 și Δ1. Un discrimant este pur și simplu un număr care ne spune ceva despre răspunsurile unui polinom (poate că deja cunoașteți în mod inconștient discriminatorul patrat: b² - 4AC). În cazul ecuației de gradul 3, dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația are trei soluții reale. Dacă discriminantul este zero, comparația are una sau două soluții reale, iar unele dintre aceste soluții sunt împărtășite. Dacă este negativă, atunci ecuația are doar o singură soluție. (Ecuația de gradul trei are întotdeauna o soluție reală, deoarece graficul arată întotdeauna cel puțin o dată cu X-axe de tăiere.)

În atribuirea exemplului nostru determinarea lui Δ este foarte simplă, deoarece atât Δ0, cât și Δ1 = 0. Rezolvăm acest lucru după cum urmează:

Δ1² - 4Δ0³) ÷ -27o²

(0)² - 4 (0)³) ÷ -27 (1)²

0 - 0 ÷ 27

0= Δ, deci ecuația noastră are 1 sau 2 răspunsuri.

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 13

calcula C=³√ (√ ((Δ1² - 4Δ0³) + Δ1) / 2). Ultima valoare importantă pe care trebuie să o calculam este C. Cu această cantitate importantă găsim în cele din urmă cele trei soluții. Rezolvați acest lucru ca de obicei, înlocuind D1 și Δ0 acolo unde este necesar.

În exemplul nostru, găsim C după cum urmează:

³√ (√ ((Δ1² - 4Δ0³) + Δ1) / 2)

³√ (√ ((0² - 4 (0)³) + (0)) / 2)

³√ (√ ((0 - 0) + (0)) / 2)

0=C

Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 14

Calculați cele trei răspunsuri cu variabilele dvs. Răspunsurile la ecuația dvs. de gradul trei sunt date de formula (b + tuⁿC + (Δ0 /tuⁿC)) / 3o, prin care tu= (- 1 + √ (-3)) / 2 și n este 1, 2, sau 3. Introduceți valorile în cazul în care este necesar pentru a rezolva acest lucru - acest lucru necesită o mulțime de matematică, dar dacă totul merge bine ai trei răspunsuri posibile afară!

În sarcina noastră probă putem rezolva acest lucru prin verificarea răspunsului când n este egal cu 1, 2 sau 3. Răspunsurile pe care le primim de la aceste teste, răspunsurile posibile sunt pe ecuației cubice - fiecare soluție prin care se obține 0 ca răspuns după ce substituția în ecuație este corectă. De exemplu, să presupunem că obținem 1 ca răspuns la unul dintre teste deoarece intrăm în 1 X³ - 3X² + 3X - Rezultă 1 în 0 ca răspuns, atunci 1 unul dintre răspunsurile la ecuația noastră de gradul al treilea.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit