Rădăcinile determină o ecuație de gradul doi

O ecuație patratică este orice comparație în formă topor²

conținut

Pași
Metoda 1folosind formula patratică
Metoda 2găsiți rădăcini prin descompunerea în factori
Se dizolvă în factorii cu a "a"valoare de 1
Se dizolvă în factorii cu a "a"valoare ≠ 1
Sfaturi

+ bx + c = 0 unde a ≠ 0. Deși "calculând rădăcina unei ecuații de gradul doi" este posibil să nu sune intimidant &mdash. "calcula rădăcina" este la fel ca rezolvarea ecuației pentru x! Orice ecuație de gradul doi poate fi rezolvată cu formula x = (-b +/- √ (b² - 4ac)) / 2a. În plus, în funcție de comparația cu care aveți de-a face, există mai multe trucuri care vă pot ajuta să găsiți rădăcina.

pași

Metoda 1
Folosind formula patratică

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 1

Înregistrați-vă ecuația în forma patrată. Definiția oficială a unei ecuații de gradul doi este o comparație în care necunoscutul are loc în gradul al doilea, exprimat într-o variabilă, X, cu o ≠ 0. În termeni simpli, aceasta înseamnă că este o comparație cu o variabilă (de obicei x) în care cea mai mare putere a variabilei este egală cu 2. În termeni generali putem scrie acest lucru ca fiind topor² + bx + c = 0

Pentru a pune o ecuație în forma patratică, plasați toți termenii pe o parte a semnalului egal pentru ca voi 0 pe cealaltă parte. Un exemplu: dacă comparăm ecuația 2x² + 8x = -5x² - 11 în formă patratică, putem face acest lucru după cum urmează:
2x² + 8x = -5x² + 11
2x² + 5x² + 8x = + 11
2x² + 5x² + 8x - 11 = 0
7x² + 8x - 11 = 0 . Rețineți că aceasta este în axul standard al formularului²+ bx + c = 0 este așa cum este indicat mai sus.

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 2

Procesați a, b și c în formula x = (-b +/- √ (b² - 4ac)) / 2a. Determinarea rădăcinii unei ecuații de gradul doi cu formula quadratică este simplă - pur și simplu folosiți a, b și c în formula și rezolvați-o pentru x! Deoarece forma unui ax secundar al ecuației²+ bx + c = 0, înseamnă că numărul de lângă termenul x² termenul este a, numărul de lângă termenul x și numărul fără un termen x este c.

Ecuația din exemplul nostru, 7x² + 8x - 11 = 0, a = 7, b = 8 și c = -11.

Dacă vom include acest lucru în formula, vom obține x = (-8 +/- √ (8² - 4 (7) (- 11))) / 2 (7)

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 3

Rezolvați-l. Dacă ați inclus valorile pentru a, b și c în formula dumneavoastră, atunci rezolvarea este pur și simplu o chestiune de operații aritmetice standard, până când ați obținut simbolul +/-. Aceasta este ceea ce vom discuta în etapa următoare.

În exemplul nostru, rezolvăm acest lucru după cum urmează:

x = (-8 +/- √ (8² - 4 (7) (- 11))) / 2 (7)

x = (-8 +/- √ (64 - (28) (- 11)) / (14)

x = (-8 +/- √ (64 - (-308)) / (14)

x = (-8 +/- √ (372)) / (14)

x = (-8 +/- 19,29 / (14) . Să ne oprim aici mai întâi.

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 4

Adăugați și scădeți două pentru a primi răspunsuri. Unul dintre cele mai dificile lucruri de a determina rădăcinile unei ecuații de gradul doi este cel pe care îl faci de obicei primiți două răspunsuri corecte (dacă rezolvați ecuațiile de gradul al doilea pentru temele dvs., nu uitați să menționați ambele, astfel încât să nu se înșele!) Pentru ambele răspunsuri rezolvați ecuația pentru x, odată cu un + și o dată cu un.

Dacă adăugăm acest lucru, obținem:

x = (-8 + 19,29) / (14)

x = 11,29 / 14

x = 0,81

După deducerea:

x = (-8 - 19,29) / (14)

x = (-27,29) / (14)

x = -1,95 .

Prin urmare, răspunsurile sunt: 0,81 și -1,95.

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 5

Verificați-vă răspunsurile. Dacă aveți timp rămas, este o idee bună să verificați rădăcinile calculate ale ecuației dvs. de gradul al doilea. Deoarece multe operații matematice se fac succesiv când se rezolvă ecuațiile de gradul doi, puteți face ușor greșeli simple care vă afectează răspunsurile. Din fericire, cu verificările simple de mai jos, puteți verifica dacă ați găsit rădăcinile corecte.

Cea mai rapidă modalitate de a vă verifica răspunsul este să introduceți pur și simplu termenii pentru a, b și c într-un program de rezolvare a acestor ecuații. Le puteți găsi oriunde online - exemplul aici este unul dintre mathisfun.com.

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 6

De asemenea, puteți să verificați manual răspunsurile. Dacă vă aflați într-o situație în care nu puteți utiliza un instrument online pentru a vă verifica rapid răspunsurile, puteți verifica dacă ați găsit rădăcinile corecte procesându-le pentru x în ecuația inițială. Dacă ecuația ta iese la zero (sau vine foarte aproape de ea - de obicei prin rotunjire), atunci ați găsit rădăcinile corecte.

Să reintroducem răspunsurile în 7x² + 8x - 11 = 0 pentru a le verifica:

7 (-1,95)² + 8 (-1,95) - 11

26,62 - 15,6 - 11

26,62 - 26,5 = 00:02 - Aceasta este aproape zero, deci diferența va fi probabil cauzată de o rotunjire, și nu din cauza că răspunsul este greșit.

7 (0,81)² + 8 (0,81) - 11

4,59 + 6,48 - 11 = 0,07 - vezi mai sus. Răspunsurile sunt, probabil, corecte.

Metoda 2
Găsiți rădăcini prin descompunerea în factori

Se dizolvă în factorii cu a "A"valoare de 1

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 7

Începeți cu o ecuație în forma patrată. Deși formula brută descrisă mai sus este un instrument valoros, nu este singura modalitate de a rezolva o ecuație de gradul doi. Unele ecuații de gradul doi pot fi de asemenea dizolvat în factori, care înseamnă pur și simplu că scrieți ecuația într-un mod diferit, astfel încât să devină mai ușor de rezolvat. În primul rând, ecuația va trebui să fie în forma patratică standard: ax² + bx + c = 0.

În această parte tratăm doar pătratele cu unul "o"variabilă egală cu 1. Dacă a-variabila nu este 1, această procedură este oarecum mai complicată (vezi mai jos). Folosim aici X² + 7x + 12 = 0 ca o comparație de exemplu în această parte. În etapele următoare vom dizolva și vom rezolva această ecuație.

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 8

Puneți ecuația în forma (x + _) (x + _) = 0. "Se dizolvă în factori" este doar un termen pentru asta "găsirea valorilor care pot fi multiplicate împreună pentru a vă oferi altceva." În acest caz, încercăm să împărțim ecuația de gradul doi în doi factori. Pentru că x² (Sau, cu alte cuvinte, x x x) x termen este cu puterea supremă, vom începe să creeze forma dizolvată a ecuației ca aceasta: (x + _) (_ + x) = 0.

Luați notă de spațiile goale - în etapele următoare le vom umple pentru a completa ecuația dizolvată.

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 9

Găsiți factorii de la dvs. "C"-Term. Acum, faceți o listă cu toate numerele pe care le puteți multiplica unul cu altul pentru a da termenul c al ecuației de gradul doi. Acestea sunt factorii.

În ecuația noastră (x² + 7x + 12 = 0), 12 este termenul c. Numerele care pot fi multiplicate pentru a obține 12 sunt: 1 și 12, 2 și 6 și 3 și 4. Aceasta înseamnă că avem următorii factori de 12: 1, 2, 3, 4, 6 și 12.

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 10

Găsiți cei doi factori ai lui C împreună "b"-formele termice. Din lista de factori pe care ați obținut-o pentru a face valoarea c, alegeți cei doi cioc pentru termenul b. Din motive de claritate, nu căutați factorii termenului b - doar două numere care se adaugă la b.

În ecuația noastră (x² + 7x + 12 = 0), 7 este termenul b. Lista noastră de factori pentru c este 1, 2, 3, 4, 6 și 12. 3 și 4 adăugați până la 7, deci acestea sunt numerele pe care le căutam.

Dacă există nu numerele pot fi găsite în lista de factori care adaugă până la 7, puteți spune că comparația nu este "pentru a se dizolva cu aceste numere întregi." În esență, aceasta înseamnă că ecuația nu poate fi descompusă în factori și că trebuie să folosim altă metodă pentru a găsi rădăcinile.

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 11

Completați spațiile goale ale ecuației dvs. dizolvate. Acum, completați spațiile goale ale ecuației descompuse pe care ați făcut-o cu cele două numere pe care le-ați ales din lista de factori. Aceasta vă oferă forma descompusă a ecuației originale de gradul doi.

Acum, să umplem spațiul gol în cei doi factori ai ecuației de gradul doi: (x + 3) (x + 4) = 0.

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 12

Rezolvați pentru ambele "X"valori. Tot acum trebuie să faci pentru a găsi rădăcinile ecuației pătratice ați început cu doi termeni în paranteze egal cu 0 și pentru a rezolva pentru x. Deoarece termenii se înmulțesc în paranteze unul cu celălalt, dacă oricare dintre termenuri este egal cu zero, aceasta se aplică întregii ecuații. Deci, rădăcinile ecuației sunt egale cu aceste valori x, astfel încât fiecare termen în paranteze să fie egal cu zero.

În exemplul nostru, termenii din paranteze (x + 3) și (x + 4) = 0. Prin obținerea ambelor egale cu zero obținem:

x + 3 = 0: x = -3

x + 4 = 0: x = -4

Rețineți că putem verifica aceste răspunsuri exact așa cum am fi făcut-o cu formula quadratică.

Se dizolvă în factorii cu a "A"valoare ≠ 1

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 13

Întrerupeți "A"-term în factorii săi. Dacă termenul a într-o ecuație de gradul doi nu este egal cu 1, descompunerea în factori devine oarecum mai dificilă, dar este încă perfect posibilă. Începeți prin împărțirea termenului a în termeni de factori - deoarece există un x² în timp, ambii factori vor conține și un x.

În această parte vom folosi ecuația 2x² + 14x + 12 = 0 ca un exemplu. În acest caz este 2x² termenul "a". Deoarece 2 este un număr prime, ele sunt singurii factori de 2 și 1. Aceasta înseamnă că factorii de 2x²2x și x sunt.
Rețineți că există cazuri în care există mai mult de doi factori pe termen. Ai de a face cu 8x², de exemplu, atunci aveți 8x și x plus 2x și 4x. În acest caz, va trebui să testați care este cel corect.

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 14

Dizolvați ecuația în forma ((factor 1) + _) ((factor 2) + _). Începem să dizolvăm aproape exact așa cum am spus mai sus. De data aceasta, însă, cel puțin unul dintre termenii x va avea un coeficient de lângă acesta (uneori acest lucru se aplică ambelor - aceasta depinde de factorii în care ați defalcat termenul a).

În exemplul nostru, notăm ecuația după cum urmează: (2x + _) (x + _).

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 15

Găsiți factorii termenului c. Această parte este exact aceeași cu cea din partea anterioară de mai sus - pur și simplu căutați numerele care înmulțesc valoarea lui c.

Deoarece în exemplul nostru termenul c este încă 12, lista noastră de factori este, de asemenea, aceeași: 1, 2, 3, 4, 6 și 12.

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patrate 16

Alegeți numerele din lista care dau termenul b. Aceasta este partea dificilă - alegeți două numere care, atunci când le inserați în factorii ecuației, vă dau termenul b al ecuației originale de gradul doi. Țineți minte, totuși, că de această dată nu aveți doar două ori pe x în factorii ecuației - aveți cel puțin un termen x cu un coeficient.

În exemplul nostru, termenul b este de 14 ori. Aceasta înseamnă că alegem două numere din lista de factori c care, atunci când multiplicăm câte una câte 2x și cealaltă cu x, vom obține un total de 14x.

Să încercăm din nou factorii: 3 și 4. 3 × 2x = 6x, 4 × x = 4x. 4x + 6x = 10x. Acest lucru nu funcționează, așa că îl întoarcem. 4 × 2x = 8x, 3 × x = 3x. 8x + 3x = 11x. În nici un caz acest randament nu este de 14 ori, deci acești factori nu sunt corecți.

Acum să încercăm 6 și 2. 6 × 2x = 12x, 2 × x = 2x. 12x + 2x = 14x. Succes! Utilizăm 6 și 2 pentru a umple spațiile goale ale factorilor ecuației descompuse.

Imaginea intitulată Găsiți rădăcinile unei ecuații patratice Pasul 17

Completați spațiile goale și eliberați x ca de obicei. Acum utilizați cei doi factori pentru a completa spațiile goale ale ecuației dvs. descompuse. Rețineți că trebuie să completați locul potrivit, astfel încât atunci când îi înmulțiți cu termenii x, obțineți termenul corect b ca răspuns. Apoi, setați fiecare termen în paranteze egal cu zero și rezolvați acest lucru conform indicațiilor anterioare.

În acest caz, comparația noastră ar fi egală cu (2x + 2) (x + 6) = 0. Făcând fiecare termen egal cu zero, primim:

2x + 2 = 0

2x = -2: x = -1

x + 6 = 0: x = -6

sfaturi

Amintiți-vă că rădăcina pătrată poate fi atât pozitivă, cât și negativă. Nu cădeți în capcana pe care scrieți doar un singur răspuns în care ar trebui să fie doi.
Rețineți că, cu unele ecuații de gradul doi, există o metodă avansată pentru a rezolva acest lucru, cunoscut sub numele de "pătrate împărțite." Citiți articolul pe acest subiect la wikiHow pentru o explicație pas-cu-pas bun.
Credeți-vă sau nu, însă descompunerea în factori și împărțirile de împărțire sunt pur și simplu două moduri greoaie de a folosi formula quadratică pentru a rezolva o ecuație. Citiți articolul despre wikiHow despre deducerea formulei patrate pentru un studiu aprofundat, dar trebuie avertizat - lucrurile pot deveni oarecum complexe!

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit