Calculați rădăcina unui număr fără un calculator

Înainte de sosirea calculatoarelor, studenții și profesorii au trebuit să calculeze rădăcinile pătrate cu stilou și hârtie. Au fost dezvoltate diferite tehnici pentru a rezolva această sarcină uneori dificilă, unele oferind o estimare brută și altele calculând valoarea exactă. Citiți mai departe pentru a afla cum să găsiți rădăcina pătrată a unui număr în câțiva pași simpli.

conținut

Pași
Metoda 1desenul de bază cu factori prim
Metoda 2găsiți rădăcini pătrate fără un calculator
Cu o diviziune de coadă
Înțelegeți procedura
Sfaturi
Avertismente

pași

Metoda 1
Desenul de bază cu factori prim

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 1

Împărțiți-vă numărul în factorii secundari. Această metodă utilizează factorii unui număr pentru a găsi rădăcina pătrată a unui număr (în funcție de număr, acesta poate fi un răspuns exact sau o estimare). factori a unui număr dat sunt un set aleatoriu de numere care se înmulțesc împreună pentru a forma un număr specific. De exemplu, puteți spune că factorii de 8 sunt egali cu 2 și 4 deoarece 2 × 4 = 8. Plăcile perfecte, pe de altă parte, sunt numere întregi care sunt produsul altor numere întregi. De exemplu: 25, 36 și 49 sunt pătrate perfecte deoarece sunt egale cu 5 respectiv², 6² și 7². Factorii de factoring sunt, așa cum ați fi înțeles, factori care sunt, de asemenea, pătrate perfecte. Pentru a găsi o rădăcină pătrată utilizând factorii primi, mai întâi încercați să împărțiți numărul în factorii pe doi niveluri.

Luați următorul exemplu. Vom determina rădăcina pătrată de 400. În primul rând, divizăm numărul în factori de rată secundară. Deoarece 400 este un multiplu de 100, stim ca este la fel de divizibil de 25 - un patrat perfect. Contorizarea rapidă din cap ne spune că 400/25 = 16. 16 se întâmplă să fie un pătrat perfect. Deci, cei doi factori de putere ai 400 sunt 25 și 16 pentru că 25 × 16 = 400.
Scriem aceasta ca: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 2

Luați rădăcinile pătrate ale factorilor dvs. pe două nivele. Linia de produse de rădăcini pătrate stabilește pentru fiecare număr dat o și b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Din cauza acestei proprietăți, putem să luăm acum rădăcinile pătrate ale celor doi factori de putere și să îi înmulțim pentru răspuns.

În exemplul nostru, luăm rădăcinile pătrate de 25 și 16. Vezi mai jos:

Sqrt (25 × 16)

Sqrt (25) × Sqrt (16)

5 × 4 = 20

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată de mână Pasul 3

Dacă numărul dvs. nu poate fi complet perfecționat, simplificați-l. În realitate, numerele în care doriți să determinați rădăcinile pătrate nu vor fi cifre frumos rotunjite, cu factori frumosi pe doi niveluri, cum ar fi 400. În aceste cazuri este posibil să nu puteți obține un număr întreg ca răspuns. În schimb, puteți determina răspunsul ca o rădăcină pătrată mai mică, mai ușor de utilizat, de toți factorii pe doi niveluri pe care îi puteți găsi. Faceți acest lucru prin reducerea numărului la o combinație de factori de rată secundară și alți factori, pentru ao simplifica ulterior.

Luăm rădăcina pătrată din 147 ca exemplu. 147 nu este produsul a două pătrate perfecte, deci nu putem obține un întreg frumos ca valoare. Dar este produsul unui pătrat perfect și al unui alt număr - 49 și 3. Putem folosi aceste informații pentru a scrie răspunsul nostru în termenii cei mai simpli:

Sqrt (147)

= Sqrt (49 × 3)

= Sqrt (49) × Sqrt (3)

= 7 × Sqrt (3)

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 4

Simplificați, dacă este necesar. Cu rădăcina pătrată în termeni simpli, de obicei este destul de ușor să obțineți o estimare aproximativă a răspunsului, dând o estimare a rădăcinilor pătrate rămase și înmulțirea acestora. O modalitate de a vă îmbunătăți estimările este găsirea pătratelor perfecte pe ambele părți ale numărului în rădăcina pătrată. Știți că valoarea zecimală a numărului din rădăcina pătrată se află undeva între aceste două numere, astfel încât estimarea dvs. va trebui să fie, de asemenea, între aceste numere.

Să ne întoarcem la exemplul nostru. Pentru că 2² = 4 și 1² = 1, știm că Sqrt (3) este între 1 și 2 - probabil mai aproape de 2 decât 1. Estimăm că 1.7. 7 × 1,7 = 11.9. Dacă verificăm acest lucru cu calculatorul, vedem că am ajuns în mod rezonabil aproape de răspunsul: 12.13.

Acest lucru funcționează și pentru numerele mai mari. Sqrt (35) este, de exemplu, aproximativ între 5 și 6 (probabil mai aproape de 6). 5² = 25 și 6² = 36.35 este între 25 și 36, deci rădăcina pătrată va fi între 5 și 6. Deoarece 35 este sub 36 de ani, putem spune cu o anumită încredere că rădăcina pătrată a acesteia doar este mai puțin de 6. Verificarea cu un calculator ne dă un răspuns de aproximativ 5.92 - am avut dreptate.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată de mână Pasul 5

Alternativ, ca prim pas puteți simplifica numărul la cel mai mic număr comun. Căutarea factorilor secundari nu este necesară dacă puteți găsi cu ușurință principalii factori ai unui număr (factori care sunt, de asemenea, primiți în același timp). Scrieți numărul în termeni de multiplii cel mai puțin obișnuiți. Apoi, căutați între factorii dvs. pentru perechi corespunzătoare de primes. Dacă găsiți doi factori principali care se potrivesc, eliminați-i din rădăcina pătrată și plasați-vă unul din aceste numere în afara semnului rădăcină.

Un exemplu: determinăm rădăcina pătrată de 45 folosind această metodă. Știm 45 = 9 × 5 și 9 = 3 × 3. Deci putem scrie rădăcina pătrată după cum urmează: Sqrt (3 × 3 × 5). Pur și simplu eliminați 3s și plasați un 3 în afara semnului rădăcină pentru a obține o rădăcină pătrată simplificată: (3) Sqrt (5). Acum puteți face o estimare cu ușurință.

Un exemplu final - determinăm rădăcina pătrată de 88:

Sqrt (88)

= Sqrt (2 × 44)

= Sqrt (2 × 4 × 11)

= Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Avem mai multe 2 în radacina noastră pătrată. Deoarece 2 este un număr prime, putem elimina o pereche și așeza un 2 în afara rădăcină.

= Rădăcina pătrată în termeni simpli este (2) Sqrt (2 × 11) sau (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Acum putem aborda Sqrt (2) și Sqrt (11) și găsim un răspuns estimat, dacă vrem.

Metoda 2
Găsiți rădăcini pătrate fără un calculator

Cu o diviziune de coadă

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 6

Împărțiți numerele numărului în perechi. Această metodă este similară cu o diviziune cu coadă, cu care utilizați exact rădăcină pătrată of`ll găsi o cifră număr de cifre. Deși nu este esențial, dizolvarea poate fi mai ușor să împartă un număr în bucăți funcționale, mai ales în cazul în care acesta este lung. În primul rând trage o linie verticală care vă permite să împartă zona de lucru în două zone, și apoi o linie mai scurtă în partea de sus a zonei din dreapta, cu care această divizare se într-o porțiune superioară mai mică și o porțiune mai mare sub ea. Apoi, împărțiți numărul în perechi de numere, pornind de la punctul. Conform acestei reguli este egală cu 79,520,789,182.47897 "7 95 20 78 91 82,47 89 70". Scrieți acest număr în partea de sus a zonei din stânga.

De exemplu, să calculam rădăcina pătrată de 780.14. Împărțiți zona de lucru conform indicațiilor de mai sus și notați-vă "7 80, 14" în colțul din stânga sus. Este bine dacă există o singură cifră în stânga, în loc de două. Apoi scrieți răspunsul (rădăcina pătrată de 780,14) în partea de sus a zonei din dreapta.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 7

Determinați cel mai mare număr întreg n a cărui pătrată este mai mică sau egală cu numărul sau numărul din stânga. Găsiți cel mai mare pătrat care este mai mic sau egal cu acest număr și apoi determinați rădăcina pătrată a acestui pătrat. Acest număr este n. Rețineți că în partea de sus a zonei din dreapta și scrieți pătratul n în cadranul inferior al acelei zone.

În exemplul nostru, cifra din stânga este numărul 7. Pentru că știm că 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, se poate spune că n = 2 deoarece acesta este cel mai mare întreg al cărui pătrat este mai mic sau egal cu 7. Scrieți 2 în cvadrantul din dreapta sus. Aceasta este prima cifră a răspunsului. Scrieți 4 (pătratul de 2) în cvadrantul din dreapta jos. Acest număr este important pentru pasul următor.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată de mână Pasul 8

Extrageți numărul pe care l-ați calculat de la numărul sau numărul din stânga. Ca și în cazul unei diviziuni de coadă, următorul pas este scăderea pătratului de la numărul pe care tocmai l-am folosit pentru calcul. Scrieți acest număr sub numărul cel mai din stânga și scădeți-l. Notați răspunsul de mai jos.

În exemplul nostru vom scrie un 4 sub 7 și vom deduce acest lucru. Acest lucru dă 3 ca răspuns.

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 9

Mutați numărul următor în jos. Așezați-l lângă valoarea pe care ați găsit-o în operația anterioară. Înmulțiți numărul în colțul din dreapta sus cu două și notați-le în colțul din dreapta jos. Pe lângă numărul pe care tocmai l-ați remarcat, păstrați-vă locul gratuit pentru suma pe care o veți face în etapa următoare. Scrie aici `"_ × _ =".

În exemplul nostru, următorul număr este "80". Notați-vă "80" alături de cele 3 din cvadrantul stâng. Apoi multiplicați numărul de sus dreapta cu 2. Acest număr este 2, deci 2 × 2 = 4. Notă "„4""din dreapta jos, urmat de _ × _ =.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 10

Introduceți numerele din dreapta. În spațiul gol al sumei (dreapta) introduceți cel mai mare număr întreg cu care rezultatul sumelor valorii din dreapta va fi mai mic sau egal cu numărul curent din stânga.

În exemplul nostru se completează 8, iar acest lucru dă 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Acesta este mai mare de 380. Deci, 8 este prea mare, dar probabil 7 nu este. Introduceți 7 și eliberați: 4 (7) × 7 = 329. 7 este bun deoarece 329 este mai mic de 380. Notă 7 în partea din dreapta sus. Aceasta este a doua cifră în rădăcina pătrată de 780.14.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 11

Scădeți numărul pe care tocmai l-ați calculat de la numărul curent din stânga. Deci, rezultatul multiplicării din dreapta este o remiză de la răspunsul curent din stânga. Scrieți răspunsul direct de mai jos.

În exemplul nostru, vom deduce 329 de la 380, și asta dă 51 ca rezultat.

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 12

Repetați pasul 4. Mutați următoarea pereche de numere de la 780.14 în jos. Dacă veniți la o virgulă, scrieți virgula în răspunsul din dreapta. Apoi multiplicați numărul din dreapta sus cu 2 și scrieți răspunsul de lângă ("_ × _") ca mai sus.

În răspunsul nostru înregistrăm acum o virgulă, deoarece întâlnim și acest lucru în 780.14. Mutați următoarea pereche (14) în jos în cvadrantul stâng. 27 x 2 = 54, deci scriem "54 _ x _ =" în cvadrantul din dreapta jos.

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 13

Repetați pașii 5 și 6. Determinați numărul cel mai mare care dă un răspuns mai mic sau egal cu numărul curent din stânga. Rezolvați-l.

În exemplul nostru, 549 × 9 = 4941, care este mai mic sau egal cu numărul din stânga (5114). 549 × 10 = 5490, care este prea mare, deci 9 este răspunsul nostru. Înregistrare 9 ca următorul dreapta cifre și trageți rezultatul înmulțirii din numărul din stânga: 5114 -4941 = 173.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 14

Pentru a repeta rezultatul exact procedura anterioară pentru a vă găsi răspunsul la numărul de zecimale (sutimi, miimi) de care aveți nevoie.

Înțelegeți procedura

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 15

Luați în considerare numărul pentru care doriți să calculați rădăcina pătrată ca suprafața S a unui pătrat. Deoarece aria unui pătrat este egală cu L², unde L este lungimea uneia dintre părți, astfel încât să încercați să fie determinată de rădăcina pătrată a numărului dvs., pentru a calcula lungimea L a părții laterale a pătrat.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 16

Dați fiecărei scrisori din răspunsul dvs. o scrisoare. Dați variabilei A prima cifră a L (rădăcina pătrată pe care încercăm să o calculam). B este a doua cifră, C este a treia și așa mai departe.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 17

Dați o scrisoare fiecăruia "figura pereche" din numărul pe care îl începeți. Dați variabilei S_o la prima pereche de cifre din S (valoarea inițială), S_b la a doua pereche de numere, etc.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 18

Înțelegeți legătura dintre această metodă și diviziunea de coadă. Această metodă de a găsi o rădăcină pătrată este, în esență, o diviziune de coadă, unde împărțiți valoarea inițială cu rădăcina pătrată și unde rădăcina pătrată este răspunsul. "dat". Ca și în orice diviziune lungă, în cazul în care de fiecare dată când sunteți interesat numai în figura de mai jos, ești aici, la un moment dat doar interesat în următoarele două cifre (corespunzând la cifra următoare a rădăcinii pătrate).

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 19

Determinați cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu S_o este. Prima cifră A din răspunsul nostru este atunci cel mai mare întreg al cărui pătrat nu este mai mare decât S_o (A astfel încât A² ≤ Sa < (A + 1) 2). În exemplul nostru, S_o = 7 și 2 ≤ 7 < 3², deci A = 2.

Rețineți că, dacă aveți 88 962 parts cu 7 printr-o diviziune lungă, primul pas este același: în primul rând vă trateze prima cifră a 88962 (8) si doriti cel mai mare număr care înmulțit cu 7 este mai mică sau egală cu 8. În esență, vă decideți d astfel încât 7 × d ≤ 8 < 7 × (d + 1). În acest caz d este egal cu 1.

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pas 20

Vizualizați pătratul în care doriți să găsiți zona. Răspunsul dumneavoastră, rădăcina pătrată din valoarea de pornire, L, este de a ajuta descrie lungimea unui pătrat cu suprafață S (valoarea inițială). Valorile pentru A, B și C reprezintă cifrele în valoarea L. Un alt mod de a spune acest lucru este că pentru un răspuns cu 2 cifre, 10A + B = L, și pentru un răspuns cu 3 cifre se aplică că 100A + 10B = C + L, și așa mai departe.

În exemplul nostru este (10A + B) 2 = L² = S = 100A2 + 2 × 10A × B + B². Rețineți că 10A + B reprezintă răspunsul nostru L împreună cu B în poziția unităților și A în poziția zeci. De exemplu: dacă A = 1 și B = 2, atunci 10A + B este numărul 12. (10A + B) ² este zona întregului pătrat, în timp ce 100A² suprafața este de cel mai mare pătrat interior, b² este zona celui mai mic pătrat și 10A × B este zona fiecărui dreptunghi rămas. Prin această procedură lungă și complicată găsim suprafața întregului pătrat, prin adăugarea suprafețelor pătratelor și a dreptunghiurilor care fac parte din ea.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 21

Se scade A² de la S_o. Aduceți o pereche de figuri (S._b) în jos de la numărul S. S._o S_b este aproape suprafața totală a pătratului, din care tocmai ați scos suprafața celui mai mare pătrat interior. Restul este numărul N1 pe care l-am obținut în pasul 4 (N1 = 380 în exemplul nostru). N1 este egal cu 2 × 10A × B + B² (aria celor 2 dreptunghiuri plus suprafața micului pătrat).

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată cu mâna Pasul 22

Uită-te la N1 = 2 × 10A × B + B², de asemenea scris ca N1 = (2 × 10A + B) × B. În exemplul nostru știi deja N1 (380) și A (2), deci trebuie să găsești B acum. B probabil nu este un număr întreg, așa că trebuie faptic găsiți cel mai mare număr întreg B astfel încât (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Deci acum aveți: N1 < (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)

Imaginea intitulată Calculați o rădăcină pătrată de mână Pasul 23

Rezolvați ecuația. Pentru a rezolva această ecuație se înmulțește A cu 2, vă mutați la zece (se înmulțește cu 10), locul B, în unitățile și se multiplică rezultatul de B. Cu alte cuvinte, (2 x 10A + B) × B. Acest lucru este exact ceea ce faci atunci când scrii "N_x _ =" (Cu N = 2 x A) în cadranul din dreapta jos în pasul 4. La pasul 5, va determina cel mai mare număr întreg B, care se potrivește sub linie, astfel încât (2 x 10 A + B) x N1 B ≤.

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 24

Se scade zona (2 × 10A + B) × B din suprafața totală. Acest lucru dă S- suprafață (10A + B) ² în cazul în care încă nu-l (pe care le utilizați pentru a calcula aceste cifre, în același mod).

Imaginea intitulată Calculați un rădăcină pătrată cu mâna Pasul 25

Pentru a calcula următoarea cifră C, repetați procedura. Mutați următoarea pereche de numere de la S în jos (S_c) Pentru N2 pentru a obține stânga și căutați pentru cel mai mare C, astfel încât acum aveți următoarele: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (egală cu de două ori numărul din două cifre "A B" urmat de "_ × _ =" . Acum determina cel mai mare număr pe care îl puteți introduce aici, oferindu-vă un răspuns mai mic sau egal cu N2.

sfaturi

Mutarea virgulei cu două locuri (un factor de 100) se mută virgulă în rădăcina pătrată corespunzătoare cu un singur loc (un factor de 10).
În exemplul 1.73 se poate considera ca "odihnă": 780,14 = 27,92 + 1,73.
Această metodă funcționează pentru fiecare sistem numeric, nu doar pentru sistemul zecimal (zecimal).
Simțiți-vă liber să plasați calculele acolo unde doriți. Unii oameni îl înregistrează peste numărul pe care doresc să-l calculeze.
O metodă alternativă este următoarea: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). De exemplu, pentru a calcula rădăcina pătrată a 780.14, ia un număr întreg a cărui pătrat este cel mai aproape de 780.14 (28), deci = 780.14, x = 28 și y = -3.86. Umplerea și estimarea ne oferă x + y / (2x), iar acest lucru dă (termeni simplificate), 78207/2800, sau aproximativ 27.931 (1) -, următorul termen, sau despre 4374188/156607 27.930986 (5). Fiecare termen adaugă aproximativ trei zecimale de precizie la cele de mai sus.

avertismente

Asigurați-vă că împărțiți numărul în perechi de virgulă. Împărțirea 79520789182.47897 as "79 52 07 89 18 2.4 78 97" dă un rezultat care nu este corect.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit