Remediați ecuațiile trigonometrice

O ecuație trigonometrică este o comparație cu una sau mai multe funcții trigonometrice ale curbei trigonometrice variabile x. Rezolvarea pentru x înseamnă găsirea valorilor curbelor trigonometrice ale căror funcții trigonometrice asigură că ecuația trigonometrică este adevărată.

Răspunsurile sau valorile curbelor soluției sunt exprimate în grade sau radiani. Exemple:

x = Pi / 3 - x = 5Pi / 6 - x = 3Pi / 2 - x = 45 grade - x = 37.12 grade - x = 178.37 grade

Notă: În cercul unic, funcțiile trigonometrice ale oricărei curbe sunt egale cu funcțiile trigonometrice ale unghiului corespunzător. Cercul unitar definește toate funcțiile trigonometrice ale curbei variabilei x. Este, de asemenea, folosit ca dovadă în rezolvarea ecuațiilor de bază trigonometrice și a inegalităților.
Exemple de ecuații trigonometrice:

sin x + păcat 2x = 1/2 - bronz x + pătuț x = 1.732 -
cos 3x + păcat 2x = cos x - 2sin 2x + cos x = 1.

Cercul unitar.
Acesta este un cerc cu Radius = 1, unde O este originea. Cercul unitar definește 4 funcții principale trigonometrice ale curbei variabile x, care circulă în jurul ceasului.
Dacă curba cu valoarea x variază în cercul unității, atunci:
Axa orizontală OAx definește funcția trigonometrică f (x) = cos x.
Axa verticală OBy definește funcția trigonometrică f (x) = sin x.
Axa verticală AT definește funcția trigonometrică f (x) = tan x.
Axa orizontală BU definește funcția trigonometrică f (x) = patul x.

Cercul unitate este de asemenea folosit pentru dizolvarea ecuațiilor trigonometrice și inegalități trigonometrice standard luând în considerare diferitele poziții ale curbei x pe cerc.

pași

Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Pasul 1

Înțelegeți metoda soluției.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, convertiți-o într-una sau mai multe ecuații de bază trigonometrice. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice conduce la rezolvarea a 4 ecuații de bază trigonometrice.

Imaginea intitulată Rezolva ecuații trigonometrice Pasul 2

Aflați cum să rezolvați ecuațiile de bază trigonometrice.

Există 4 ecuații de bază trigonometrice:

sin x = a - cos x = a

tan x = a - pătuț x = a

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice realizate prin studierea diferitelor poziții ale curbei x cercului trigonometric și prin utilizarea unui tabel de conversie trigonometric (sau portabil). Pentru a înțelege pe deplin modul de a rezolva acest lucru și ecuații trigonometrice similare, puteți să parcurgeți următoarea carte:"Trigonometria: Rezolvarea ecuatiilor trigonometrice si a inegalitatilor" (Amazon E-book 2010).

Exemplul 1. Rezolvare pentru păcat x = 0.866. Tabela de conversie (sau calculatorul) dă răspunsul: x = Pi / 3. Cercul trigonometric oferă o curbă diferită (2Pi / 3) cu aceeași valoare pentru sine (0.866). Cercul trigonometric oferă, de asemenea, o infinitate de răspunsuri numite răspunsuri extensive.

x1 = Pi / 3 + 2k.Pi și x2 = 2Pi / 3. (Răspunsuri într-o perioadă (0, 2Pi))

x1 = Pi / 3 + 2k Pi și x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Răspunsuri extensive).

Exemplul 2. Rezolvare: cos x = -1/2. Calculatoarele dau x = 2 Pi / 3. Cercul trigonometric oferă, de asemenea, x = -2Pi / 3.

x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi și x2 = - 2Pi / 3. (Răspunsuri pentru perioadă (0, 2Pi))

x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi și x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Răspunsuri extensive)

Exemplul 3. Rezolvarea: tan (x-Pi / 4) = 0.

x = Pi / 4 - (Răspuns)

x = Pi / 4 + k Pi- (răspuns extins)

Exemplul 4. Se dizolvă: patul 2x = 1,732. Calculatoarele și cercul trigonometric indică:

x = Pi / 12 - (Răspuns)

x = Pi / 12 + k Pi - (răspunsuri extinse)

Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Pasul 3

Aflați transformările folosite pentru a rezolva ecuațiile trigonometrice.

Pentru o anumită ecuație trigonometrică pentru a converti la ecuații trigonometrice standard utilizați conversii standard de algebrice (factoring, polinoame factorul comun ...), definiții și proprietățile funcțiilor trigonometrice și identități trigonometrice. Există aproximativ 31, 14 de identități trigonometrice, 19-31, numit, de asemenea, identitatea de transformare, deoarece acestea sunt utilizate în conversia ecuațiilor trigonometrice. Vedeți cartea de mai sus.

Exemplul 5: Ecuația trigonometrice: sin x + sin 2 x + sin 3x = 0, cu ajutorul identităților trigonometrice care urmează să fie transformată într-un produs de ecuații trigonometrice: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 Ecuațiile trigonometrice de bază pentru rezolvare sunt: cos x = 0 - sin (3x / 2) = 0 - și cos (x / 2) = 0.

Imaginea intitulată Rezolva ecuații trigonometrice Pasul 4

Găsiți curbele a căror funcții trigonometrice sunt cunoscute.

Înainte de a putea afla cum să rezolvați ecuațiile trigonometrice, trebuie să știți cum să găsiți rapid curbele a căror funcții trigonometrice sunt cunoscute. Valorile de conversie ale curbelor (sau unghiurilor) pot fi determinate cu ajutorul tabelelor trigonometrice sau a calculatorului.

Exemplu: Solve pentru cos x = 0.732. Calculatorul dă x = 42,95 grade ca soluție. Cercul unitar oferă alte curbe cu aceeași valoare pentru cosinus.

Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Pasul 5

Desenați arcul răspunsului pe cercul unității.

Puteți crea un grafic pentru a ilustra care este soluția în cercul unității. Punctele finale ale acestor curbe constau în poligoane ordinare pe cercul trigonometric. Câteva exemple:

Punctele finale ale curbei x = Pi / 3 + k.Pi / 2 reprezintă un pătrat pe cercul unității.

Curbele de x = Pi / 4 + k.Pi / 3 sunt reprezentate de coordonatele unui hexagon pe cercul unității.

Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Pasul 6

Aflați cum să abordați soluția ecuațiilor trigonometrice.

Dacă ecuația trigonometrică dată conține o singură funcție trigonometrică, rezolvă-o ca o ecuație trigonometrică standard. Dacă ecuația dată conține două sau mai multe funcții trigonometrice, există 2 metode de soluție, în funcție de opțiunile de conversie a ecuației.

A. Metoda 1.

Porniți ecuația trigonometric la un produs de forma: g f (x) .g (x) = 0 sau f (x) .g (x) · h (x) = 0, unde f (x) (x ) și h (x) sunt ecuații trigonometrice.

Exemplul 6. Rezolvare: 2cos x + sin 2x = 0 (0 < X < 2pi)

Soluția de rezolvare. Înlocuiți păcatul 2x în ecuație utilizând identitatea: păcat 2x = 2 * sin x * cos x.

cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Apoi, se dizolvă 2 trigonometrice standard: cos x = 0, și (sin x + 1) = 0.

Exemplul 7. Rezolvare: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < X < 2pi)

Soluție: Opriți-l într-un produs, folosind identitățile trigonometrice: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Rezolva acum doua ecuatii trigonometrice: cos 2x = 0, și (2cos x + 1) = 0.

Exemplul 8. Rezolvare: păcat x - sin 3x = cos 2x. (0 < X < 2pi)

Soluție: Opriți-l într-un produs, folosind identitățile trigonometrice: cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Rezolva acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0, și (2sin x + 1) = 0.

B. Abordarea 2.

Convertiți ecuația trigonometrică într-o ecuație trigonometrică cu o singură funcție trigonometrică unică ca variabilă. Există câteva sfaturi despre alegerea unei variabile potrivite. Variabilele comune sunt: sin x = t-cos x = t-cos 2x = t, tan x = t și tan (x / 2) = t.

Exemplul 9. Se dizolvă: 3sin ^ 2x-2cos ^ 2x = 4sin x + 7 (0 < X < 2pi).

Soluția de rezolvare. În ecuația (cos ^ 2 x) înlocuim (1 - sin ^ 2 x) și simplificăm ecuația:

3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Acum folosiți păcatul x = t. Ecuația devine: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Aceasta este o ecuație de gradul doi cu 2 rădăcini: t1 = -1 și t2 = 9/5. Putem respinge al doilea t2, pentru că > 1. Rezolvați acum pentru: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.

Exemplul 10. Se dizolvă: tan x + 2 tan ^ 2 x = pat x + 2.

Soluția de rezolvare. Utilizați tan x = t. Mutați compararea datelor într-o ecuație având ca variabilă t (2t + 1) (t ^ 2-1) = 0. Solve pentru t din acest produs, apoi se dizolvă ecuația trigonometrice standard, tan x = t pentru x .

Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Pasul 7

Rezolvați ecuații trigonometrice speciale.

Există câteva ecuații trigonometrice speciale care necesită o serie de conversii specifice. Exemple:

a * sin sin x + b * cos x = c - a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x =

a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0

Imaginea intitulată Rezolva ecuații trigonometrice Pasul 8

Aflați proprietățile periodice ale funcțiilor trigonometrice.

Toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, ceea ce înseamnă că ele revin la aceeași valoare după o rotație pe o perioadă. Exemple:

Funcția f (x) = sin x are 2Pi ca perioadă.

Funcția f (x) = tan x are Pi ca perioadă.

Funcția f (x) = sin 2x are Pi ca perioadă.

Funcția f (x) = cos (x / 2) are 4Pi ca perioadă.

Dacă perioada este specificată în instrucțiuni / test, tot ce trebuie să faceți este să găsiți curba (curbele) x în această perioadă.

ATENȚIE: Rezolvarea unei ecuații trigonometrice este dificilă și duce deseori la erori și greșeli. Prin urmare, răspunsurile trebuie verificate cu atenție. Dupa rezolvarea puteți verifica răspunsurile folosind un calculator de grafică, o vedere directă a dat ecuația trigonometrice R (x) = 0. Răspunsul (ca root) în zecimale dat. De exemplu, Pi are o valoare de 3,14

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit