Se dizolvă în factori

În algebra, o ecuație de gradul doi este un polinom format din 3 termeni, din axa formularului²

conținut

Pași
Metoda 1ecuația de gradul doi
Metoda 2respingerea cazurilor speciale în factori
Metoda 3utilizarea formulei abc
Metoda 4pătratul ascuns într-un polinom
Sfaturi
Avertismente
Accesorii

+ bx + c. Polinoamele au multe aplicații în matematică și știință, iar ecuațiile de gradul doi se pot dizolva este o abilitate importantă. Deși cele mai multe ecuații pătratice poate fi dizolvat pur și simplu, există mai multe cazuri în care o ecuație pătratică într-un mod special de a fi factori de corecție. Dacă nu este utilă niciuna dintre metodele din ghidul următor, poate fi necesar să se aplice metode de rezolvare a unor polinoame superioare.

pași

Metoda 1
Ecuația de gradul doi

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 2

Organizați argumentele ecuației de gradul doi de la mare la mic. Un argument este o variabilă în polinom - ordinea normală pentru plasarea termenilor este de la puterea cea mai mare la cea mai mică. Deci, 5 + x² + 6x trebuie clasificat ca x² + 6x + 5.

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 1

Adu fiecare factor care apare în paranteze în toți cei trei termeni. Dacă constantele ecuației pătratice sunt toate multipli de același număr, sunteți în stare să le scoată din drum, sau în cazul în care orice componentă a ecuației de gradul doi are o variabilă similară, ca variabilă poate fi plasat în afara paranteze.

De exemplu, în ecuația de gradul -8a² + 24a + 144, fiecare constantă este un multiplu de 8 și astfel 8 poate fi plasat în afara parantezelor, ceea ce ne face să -8 (a² - 3a - 18). Chiar dacă coeficientul și constant -3 -18 -3 divizibil cu doi, primul coeficient al primului mandat nu este, așa că nu putem în continuare Factorizarea.

În ecuația de gradul doi - x² - 2x - 1, fiecare termen este divizibil cu -1, care după descompunere poate fi scris ca (-1) (x² + 2x + 1).

Căutați modele care fac mai ușor să se descompună o ecuație de gradul doi. Pentru mai multe informații și exemple mai detaliate, consultați metoda de rezolvare a cazurilor speciale ale unei ecuații de gradul doi.

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 3

Dacă este posibil, încercați să împărțiți ecuația de gradul doi în două tweeteremeni de formă (mx + n) (qx + r). Aceasta este de multe ori doar încercarea de a lucra, dar există trucuri care fac acest lucru mai ușor. Să presupunem mai întâi că primul termen din ecuația de gradul al doilea (x² termen) este egal cu 1 (termenul arată ca mai devreme² de exemplu, 3x²). Valorile m și q ale tweetermului sunt 1, deci soluția dvs. va arăta ca următoarea formă (x + b) (x + d). Apoi, găsiți pentru compararea dvs. cu toporul de formă² + bx + c, valorile n și r astfel încât să dețină: n * r = c și n + r = b.

X se aplică în exemplu² + 6x + 5, 5 * 1 = 5 și 5 + 1 = 6. Deci, soluția este (x + 1) (x + 5).

Dacă nu toți termenii din ecuația de gradul doi sunt pozitivi, nu uitați să luați în considerare numerele negative. De exemplu, x² - 3x - 18 se dizolvă în (x - 6) (x + 3) deoarece -6 + 3 = -3 și -6 * 3 = -18.

Dacă constanta în primul termen nu este egală cu 1 (de ex. dacă arată 3 ori mai devreme² apoi pe x²), descompunerea în factori este oarecum mai dificilă, și prin topor² + bx + c veți obține o soluție în forma (mx + n) (qx + r). Pentru o soluție corectă, m * q = a, m * r + n * q = b și n * r = c.

Începeți prin a face o listă cu toți factorii posibili ai lui a și c. Apoi, verificați ce perechi de factori funcționează, folosind restricțiile de mai sus.

De exemplu, luați 3x² + 10x + 8. Factori perechi posibile de 3, 1 * 3. posibili factori de perechi de 8, 1 * 8 și 2 * 4. Deoarece 3 * 1 = 3 (termenul ecuației pătratice), 1 * 4 + 2 * 3 = 10 ( termenul b) și 2 * 4 = 8 (termenul c), soluția este (3x + 4) (x + 2).

Metoda 2
Respingerea cazurilor speciale în factori

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 4

Verificați dacă constanta în primul sau al treilea termen al ecuației este un număr prime. Un număr prime este divizibil numai de la sine și 1. Acest lucru scade numărul de factori binomi posibili. În exemplul anterior: x² + 6x + 5 există doar un singur set posibil de factori binomi, (x + 5) (x + 1), deoarece 5 este un număr prime.

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 5

Verificați dacă ecuația de gradul doi este o pătrată perfectă. Aici este necesar ca valorile coeficienților a și c ai axei ecuației² + bx + c sunt pătrate perfecte (și pozitiv!), și prin aceea că valoarea b este de două ori valoarea produsului din rădăcina pătrată a a și c.

(x + a)² devine x² + 2ax + a². De exemplu, (x + 3)² = x² + 6x + 9 și (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4.

De asemenea, (x - a)² devine x² - 2ax + a². De exemplu, (x - 3)² = x² - 6x + 9.

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 6

Pentru unele ecuații de gradul doi de formă x² - n² se aplică:

(x + a) (x - a) devine x² - o². Deci x² - 9 pot fi dizolvate rapid în factori de până la (x + 3) (x - 3) și 4x² - 4 = (2x + 2) (2x - 2).

Metoda 3
Utilizarea formulei abc

Pentru ecuațiile de gradul doi de formă ax² + bx + c care sunt dificil sau imposibil de dizolvat, utilizați formula abc.

Învățând să folosesc formula ABC.

Introduceți a, b și c și rezolvați prima parte a formulei. Să presupunem că avem ecuația de gradul al doilea x² + 5x + 6.

Începeți cu b² - 4ac, și asta e 5² - 4 (1) (6) = 1. Rădăcina pătrată a lui 1 este 1.

Terminați cu rezolvarea ecuației. -b + 1 = -5 + 1 = -4. Împărțiți acest lucru cu 2a (2 * 1 = 2) pentru a obține -2 ca răspuns.

Rezolvați cealaltă parte. Știm deja că rădăcina pătrată a b² - 4ac = 1. -b - 1 = -6. Împărțiți acest lucru cu 2a (2) pentru a obține -3.

Verificați soluțiile prin completarea lor pentru x. Uneori, unul sau mai multe răspunsuri nu sunt soluții valide (de exemplu, dacă sunt numere imaginare). Dar dacă o ecuație de gradul doi are o soluție, atunci ecuația face.

Rețineți că dacă am fi descompus această ecuație în factori, în loc să folosim formula abc, am fi primit un răspuns (x + 2) (x + 3). Dacă echivalați această ecuație cu 0, veți obține două soluții, x = 2 și x = -3, pe care le-am găsit și cu formula.

Metoda 4
Pătratul ascuns într-un polinom

Unele ecuații de gradul doi au o ordine superioară, dar în esență numai curate. Odată ce au fost recunoscute ca atare, le puteți trata în acest fel prin utilizarea substituției.

Uită-te la variabilele din fiecare termen. De exemplu, x⁶ - 7x³ + 12 pare să fie o putere de 6, dar după înlocuirea u = x³, asta vei fi tu² - 7h + 12. Acest lucru vă păstrează cu o comparație mult mai ușor de rezolvat.

Substituțiile mai complexe pot ajuta la rezolvarea unor probleme mai dificile. De exemplu, x⁵y - 7x³Y² + 12y³ este simplificată la xy³(tu² - 7h + 12) și după substituție u = x²/ y. O astfel de substituție este posibilă, ori de câte ori suma puterii celor doi termeni, de două ori puterea termenului rămas.

Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 7

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 8

Dacă se poate produce o astfel de substituire, atunci dizolvați polinomul simplu, în acest caz, voi² - 7h + 12 = (u-3) (u-4)

Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 9

Deblocați substituția și aplicați x la soluție. Deci, înlocuiți cu x ³, X⁶ - 7x³ + 12 = (x³ - 3) (x³ - 4). Dacă este posibil sau dorit, fiecare factor poate fi în continuare simplificat.

sfaturi

Utilizați criteriul lui Eisenstein pentru a determina rapid dacă un polinom nu poate fi urmărit și nu poate fi descompus în factori. Acest criteriu se aplică fiecărui polinom, dar mai ales unei ecuații de gradul doi. Dacă există un număr prime p prin care ultimii doi termeni sunt divizibili și îndeplinesc următoarele condiții, atunci polinomul nu poate fi redus:

Termenul constant (c într-o ecuație de gradul doi al axei formularului² + bx + c) este un multiplu de p, dar nu de p².
Primul termen (aici, a) nu este un plural al lui p.
De exemplu, 14x² + 45x + 51 este ireductibilă deoarece există un număr prime (3) capabil să împartă atât 45, cât și 51, dar nu 14 și 51, care nu sunt divizibile prin 3².

Puteți descompune polinoamele mai multor variabile în factori care utilizează metodele de mai sus dacă sunt ecuații de gradul doi bazate pe o anumită variabilă. De exemplu, luați 4x³Y² - 5x⁴ + 15Y. Acest lucru poate fi rescris ca (4x³) y² + 15y - 5x⁴. Rețineți că acest lucru se potrivește în axa formularului² + bx + c, unde a = 4x³ și c = 5x⁴. Această ecuație poate fi apoi rezolvată cu formula abc.

Puteți practica dizolvarea în factorii de ecuație de gradul doi prin efectuarea de sarcini într-o carte în care algebra este tratată.

avertismente

Deși este adevărat pentru pătrate, ecuațiile de gradul doi care pot fi descompuse în factori nu sunt neapărat produsul a două tweeter-uri. Un exemplu de exemplu este x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).